Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 5 стр.

UptoLike

Рубрика: 

11
i
ee
z
iziz
2
sin
= (3)
2
cos
iziz
ee
z
+
= (4)
В) Гиперболические функции
chwz= , shwz
=
.
Значения данных гиперболических функций находятся по
формулам:
2
ch
zz
ee
z
+
=
,
2
sh
zz
ee
z
=
.
Справедливы равенства
iziz sinsh
=
, izz cosch = (5)
Отсюда
sin sin( ) sin ch cos shzxiy xyixy
=
+= + (6)
cos cos( ) cos ch sin shzxiy xyixy=+= (7)
Г) Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция является многозначной
функцией, значения которой находятся по формуле:
ln ln arg ln (arg 2 )zzizziz k
π
=+ =+ + , k= ,..,2,1,0
±
±
где
zarg главное значение аргумента (
π
2arg0
<
z ).
Значение функции, которое получается при
k = 0, называется
главным значением и обозначается
Ln ln argzziz=+ .
Пример 3. Найти все значения )31ln( i . Найти главное
значение
Ln (1 3 )i .
Решение. Найдем модуль и аргумент числа z = 1
i3
22
13 1(3) 132zi=− = + = +=
12
Обозначим
zarg
=
ϕ
, тогда
1
cos
2
x
z
ϕ
=
= ,
35
sin 2
23
y
k
z
π
ϕ
ϕπ
== = + , k= 0, 1, 2,...
± . Таким образом
5
ln ln arg ln 2 ( 2 )
3
zziz i k
π
π
=+ =++, k= 0, 1, 2,...
±
± ,
.
3
5
2lnzLn
π
i+=
.
4. Разложение некоторых элементарных функций в
степенной ряд
1) ...
!3!2!1
1)exp(
32
++++=
zzz
z
2)
...
!6!4!2
1cos
642
++=
zzz
z
3)
...
!7!5!3
sin
753
++=
zzz
zz
4)
357
sh ...
3! 5! 7!
zzz
zz
=
++++
5)
246
ch 1 ...
2! 4! 6!
zzz
z
=
++++
Разложение 1) 5) справедливы на своей комплексной
плоскости.
6)
...1
1
1
32
++++=
zzz
z
7)
...1
1
1
32
++=
+
zzz
z
8)
234
ln(1 ) ...
234
zzz
zz
+
=− + +
9)
234
ln(1 ) ...
234
zzz
zz
=−