Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

9
y
i
0 x
Пример 7. Построить область, заданную неравенством
1<− iz , 0
4
arg
π
≤
≤ z
y
I
4
π
0 x
2. Действительная и мнимая части функции
комплексного переменного
Пусть М – подмножество комплексной плоскости. Пусть
каждой точке iy
x
z
+
=
множества М поставлено в соответствие
одно или несколько комплексных чисел
wuiv
=
+ . Тогда говорят,
что на множестве М задана функция комплексного переменного
()wfz= . В первом случае функция называется однозначной, во
втором – многозначной. Функции
(, )uuxy
=
и
(, )vvxy= называются, соответственно, действительной и мнимой
частями функции f(z).
10
Пример. Найти действительную и мнимую части функции
2
7wzz=−
Решение. Имеем:
zxiy
=
+
,
zxiy
=
−
.
22 222
22 2 2
22
77()()7(2 )
7( 2 ) 7 14 7
77 (14 )
zz xiy xiy xixyiy xiy
x i xy y x iy x i xy y x iy
xyxixyy
−= − − + = − + −− =
−−−−=− −−−=
=−−+− −
⇒
22
77ux yx
=
−−, 14vxyy
=
−−.
3. Элементарные функции комплексного переменного
А) Показательная функция
exp( )
z
we z=≡
.
Значения показательной функции комплексного
переменного iy
x
z
+
=
находятся по формуле Эйлера:
)sin(cos)exp()exp()exp( yiyxiyxz
(2)
Пример 1. Найти значение функции
z
we
=
в точке
π
iz +−= 1
0
Решение.
0
11 1
(cos sin ) ( 1 0) 1/
z
i
ee e i e i e
π
ππ
−+ − −
== + =−+⋅=−.
Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции
2
iz
we
−
=
.
Решение.
2222222
()(2 )( 2)iz ix iy ix i xy iy ix y i xy−=−+ =− + + =− −+ =
222 22
22 ( ).ix iy i xy xy i y x=− + − = + −
Используя равенство (2), получим:
222
2( ) 2 2 2 2 2
222222
(cos( ) sin( ))
(cos( ) sin( )
iz xy i y x xy
xy xy
ee e yxiyx
eyxieiyx
−+−
=
=−+−=
=−+−
222
(cos( ),
xy
ue y x=−
222
sin( )
xy
ve y x=−
Б) Тригонометрические функции
sinwz
=
, coswz
=
.
Значения данных тригонометрических функций находятся по
формулам:

Страницы