Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

13
Разложения 6) − 9) справедливы в круге
1z
<
.
5. Дифференцирование функций комплексного переменного
Определение. Говорят, что функция ()wfz
=
дифференцируема в точке
0
z , если существует конечный предел
0
0
0
() ( )
lim
zz
f
zfz
zz
→
−
−
. Этот предел называется производной функции
()wfz= в точке
0
z и обозначается символом )(
0
zf
′
:
0
0
0
)()(
lim)(
0
zz
zfzf
zf
zz
−
−
=
′
→
.
Определение. Говорят, что функция
()wfz
=
аналитична в
точке
0
z , если она дифференцируема в некоторой окрестности
этой точки.
Определение. Говорят, что функция
()wfz
=
аналитична в
области G, если она дифференцируема в каждой точке области
G.
Теорема. Если функция
() (, ) (, )wfz uxy ivxy
=
=+
дифференцируема в точке iy
x
z += , то в точке ),( yx
выполняются равенства
,
.
uv
x
y
uv
yx
∂∂
=
∂∂
∂
∂
=−
∂
(8)
Обратно, если функции
(, )uuxy= , (, )vvxy= дифференцируемы
в точке ),(
yx как функции действительных переменных и в
точке ),(
yx выполняются равенства (8), то функция ()wfz
=
дифференцируема в точке
iy
x
z += . При этом производная
функции
()wfz= в точке iy
x
z += находится по формуле:
=
′
)(zf
u
x
∂
∂
+i
v
x
∂
∂
(9)
14
Замечание. Равенства (8) называются условиями Коши-
Римана.
Пример. Проверить, является ли функция
7iz
we
−
=
дифференцируемой и найти значение её производной в точке
0
3zi
π
=−
.
Решение. Найдем действительную и мнимую части данной
функции:
77()777 7
77
cos( 7 ) sin( 7 )
cos 7 sin 7
iz i x iy y i x y y
yy
ee e e xie x
exiex
−−+ −
=
== −+ −=
=−
(см. формулу(2)).
Таким образом
7
cos 7
y
ue x= ,
7
7sin7
y
ve x=− .
Проверим, выполняются ли условия Коши-Римана:
77
(cos7) 7sin7
yy
x
u
exex
x
∂
′
==−
∂
,
77
( cos 7 ) 7 cos7
yy
y
u
exex
y
∂
′
==
∂
,
77
(sin7)7cos7
yy
x
v
exe x
x
∂
′
=− =−
∂
,
77
( sin 7 ) 7 sin 7
yy
y
v
exex
y
∂
′
=− =−
∂
uv
x
y
∂∂
=
∂∂
,
uv
yx
∂
∂
=
−
∂
∂
⇒ функция ()
f
z дифференцируема.
77
() 7 sin7 7 cos7
yy
uv
f
zexiex
x
x
∂
∂
′
=+=− −
∂
∂
,
7( 3) 7( 3)
0
21 21 21
() ( 3) 7 sin7 7 cos7
7sin7 7cos77/.
fz f i e ie
eie ie
π
ππ
ππ
⋅− ⋅−
−−
′′
=
−=− − =
=− − =
6. Нахождение аналитической функции
по её действительной или мнимой части
Определение. Функция (, )
x
y
ϕ
ϕ
=
действительных
переменных
x
и y называется гармонической в области G, если
она имеет непрерывные частные производные второго порядка в
области
G и в этой области выполняется равенство:
22
22
0
xy
ϕϕ
∂∂
+
=
∂∂
(10)

Страницы