Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

23
23 234
11113927 13927
(1 ...) ... .
3
3
1
zz zzzz zzzz
z
=⋅ = ++++=++++
−
−
Данное разложение справедливо при
3/ 1z
<
, т.е. в кольце
3 z<<+∞
.
Таким образом,
23 23 2345
11 1 1 11 3 9 1 2 8 26 80
( ) ( ...) ( ...) ( ...).
222
fz
zzz zzz zzzz
=− + + + + + + + = + + + +
Данное разложение справедливо в кольце 3z > .
10. Классификация особых точек
Определение. Точка
0
z называется особой точкой функции
)(
zf , если функция не дифференцируема в этой точке.
Определение. Точка
0
z называется изолированной особой
точкой функции
)(zf , если функция дифференцируема в
некоторой окрестности точки
0
z за исключением самой точки
0
z .
Существуют три типа изолированных особых точек.
Определение. Изолированная особая точка функции )(zf
называется устранимой особой точкой, если в разложении в ряд
Лорана функции )(
zf в окрестности точки
0
z отсутствует
главная часть.
Определение. Изолированная особая точка функции )(zf
называется полюсом, если в разложении в ряд Лорана функции
)(
zf в окрестности точки
0
z главная часть содержит конечное
число членов. При этом наибольшее число
Nn
∈
такое, что
0
n
C
−
≠
, называется порядком полюса.
Определение. Изолированная особая точка функции
)(zf
называется существенно особой точкой, если в разложении
функции )(
zf в ряд Лорана в окрестности точки
0
z главная
часть содержит бесконечное число членов.
24
Замечание. Полюс первого порядка называют также
простым полюсом.
Пример. Классифицировать особые точки функции
)1(2sin
)1(
1
)(
4
−⋅
−
= z
z
zf
Решение. Единственной особой точкой функции является
точка
1
=
z
. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности этой
точки. Для этого воспользуемся разложением в ряд Тейлора
функции sin(z)
...
!7!5!3
sin
753
+−+−=
zzz
zz .
Получаем
...
!7
)1(128
!5
)1(32
!3
)1(8
)1(2)1(2sin
753
+
−
−
−
+
−
−−=−
zzz
zz ,
3
43
1 2 4 4(1)8(1)
sin 2( 1) ... .
( 1) ( 1) 3( 1) 15 315
zz
z
zzz
−−
−= − + − +
−−−
Главная часть ряда Лорана содержит конечное число
слагаемых, поэтому z = 1 – полюс третьего порядка.
11. Нули аналитической функции.
Связь между нулём и полюсом
Определение. Точка
0
z называется нулем аналитической в
точке
0
z функции
)(zf
, если 0)(
0
=
zf .
Определение. Точка
0
z называется нулем кратности n
аналитической в точке
0
z функции
)(zf
, если выполняются
равенства:
0)(
0
=
zf , 0)(
0
=
′
zf , 0)(
0
=
′
′
zf , ...,
0)(
0
)1(
=
−
zf
n
,
0)(
0
≠zf
n
.

Страницы