Математический анализ. Криволинейные интегралы. Уманец М.Л - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

8
Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме:
⎩
⎨
⎧
=
=
ty
tx
sin
cos2
,
где
π
≤≤
t
0.
Работа вычисляется по формуле:
(
)
(
)
∫
+=
K
dyyxQdxyxPА ,,
.
У нас
() ()
yxyxQxyyxP
−
=
= ,,, , откуда
()
∫
−+=
K
dyyxdxxyA
.
Изменения
х и у вдоль линии интегрирования заданы.
Найдем
dx и dy: d
t
t
dyd
t
t
dx cos,sin2
=
−
=
. Подставим х, у, dx
и
dy под знак интеграла.
() ( )( )()
()
()( )
()
π
ππ
π
π
π
π
πππ
π
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
==
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−=−
−++−=⋅−+⋅−=
=⋅−+−⋅⋅=−+=
∫
∫∫∫
∫∫
00sin
02sin,0sin
sin
2
1
2sin
2
1
sin
3
4
sinsin
2cos1sinsin4cossincos2cossin4
cossincos2sin2sincos2
0
2
0
0
3
0
00
2
0
22
0
tttttdt
dtttdtdtttttt
dtttttttdyyxdxxyA
K
Ответ:
π
=
A
.
3. Формула Грина.
Если (С) – граница области (D) и функции
(
)
yxP ,
и
()
yxQ ,
вместе
со своими частными производными
x
Q
и
y
P
∂
непрерывны в замкнутой
области (
D) (включая границу (С), то справедлива формула Грина:
у
-2 2 х
1
N
M
Рис. 3

Страницы