Математический анализ. Криволинейные интегралы. Уманец М.Л - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

10
Запишем уравнение сторон треугольника АВС.
(АВ): 1=у , (ВС): 2
=
х
, (СА):
х
у
=
Вычислим двойной интеграл по данной области (D):
2
111
1
111
2
1
2
1
2
1
1
2
1
222
2
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫∫∫∫
x
xdx
x
dx
y
x
y
dy
yx
dxJ
x
x
Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по кон-
туру треугольника АВС, состоящему из звеньев: АВ, ВС, СА.
∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
BC CAAB
x
dy
y
dx
x
dy
y
dx
x
dy
y
dx
J
Уравнение (АВ): 21,01
≤
≤
=
⇒=
x
dyy
Уравнение (ВС): 21,02
≤
≤
=
⇒= ydx
x
Уравнение (СА): 12, ≥≥
=
⇒= ydxdy
x
y
Таким образом,
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−+=
∫∫∫
yx
x
dx
x
dxdy
dxJ
Результаты одинаковы.
Ответ:
2
1
=J
.
Пример №5.
Вычислить интеграл
(
)
(
)
∫
+++
L
dyyxdxyx
2
22
2
двумя способами:
непосредственно и по формуле Грина.
L – контур многоугольника
() ( )
(
)
3;1,2;2,1;1: СВАABCA
(Рис. 6).
1 2 х
у
2
1
А
В
С
D
Рис. 5

Страницы