ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12
()
()
()
3
4
3
56
3
4
3
56
3
1
168
3
4
3
8
1161648
1
3
3
1
2
23
2
1
3
1
3
2
1
2
2
2
1
2
−=−−=
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+=
=+++−+=
∫∫∫
y
xxxx
dyydxxxdxxJ
Результаты одинаковы.
Ответ:
3
4
−=J .
4. Нахождение функции по ее полному дифференциалу
Если функции
()
yxP , и
(
)
yxQ , в области (D), ограниченной кривой
(К), связаны соотношением
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
, то выражение
(
)()
dyyxQdxyxP ,, + –
полный дифференциал некоторой функции
(
)
yxU ,,
() ()
dyyxQdxyxPdU ,, += .
Все функции, имеющие один и тот же дифференциал
() ()
dyyxQdxyxP ,, + , отличаются друг от друга постоянными слагаемыми.
Поэтому любая такая функция
(
)
yxU ,
задается формулой:
() ()
()
()
()
CdyyxQdxyxPyxU
yx
yx
++=
∫
,,,
,
,
00
.
где С – произвольное число.
В качестве начальной точки (х
0
, у
0
) можно взять любую точку из об-
ласти (D).
Удобно брать в качестве (х
0
, у
0
) точку с «круглыми» координатами.
Например (0, 0) если она находится в области (D).
Так как путь движения от (х
0
, у
0
) до (х, у) не влияет на величину ин-
теграла, удобно вести интегрирование по ломаной линии, звенья которой
лежат на координатных осях или им параллельным.
Пример №6.
Доказать, что данное выражение является полным дифференциалом
функции
()
yxU , , найти первообразную. Сделать проверку.
()
(
)
(
)
(
)
dyyxedxyxe
yxyx
2coscos +−−+−+
++
Решение.
Имеем
()
yxeP
yx
−+=
+
cos ,
(
)
2cos +−−=
+
yxeQ
yx
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
