Математический анализ. Криволинейные интегралы. Уманец М.Л - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

13
Тогда
()
yxe
x
Q
y
P
yx
−+=
∂
∂
≡
∂
∂
+
sin
, то есть данное выражение являет-
ся полным дифференциалом функции
(
)
yxU , :
()
(
)
(
)
(
)
dyyxedxyxedU
yxyx
2coscos +−−+−+=
++
.
За начальную точку возьмем О(0, 0), контуром (К) является ломаная
OАВ (Рис. 7).
() ( )
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
Cdyyxedxyxe
dyyxedxyxeyxU
yx
AB
yx
yx
OA
yx
++−−+−++
++−−+−+=
++
++
∫
∫
2coscos
2coscos,
Уравнение (ОА):
x
x
dyy
≤
≤
=
⇒= 0,00
Уравнение (АВ): yydxcons
t
x
≤
≤
=
⇒= 0,0
Получаем:
()
()
()
()
() ()
CyyxeCyyxexe
CdyyxedxxeyxU
yx
yy
y
yx
x
x
x
y
yx
x
x
++−+=++−+++=
=++−−++=
++
+
∫∫
2sin2sinsin
2coscos,
00
0
0
0
00
Очевидно, что функцию
(
)
yxU ,
интегрируя по контуру ОАВ можно
найти по формуле:
() ( ) ()
CdyyxQdxyxPyxU
y
y
x
x
++=
∫∫
00
,,,
0
. (7)
Нашли функцию
()
yxU , – сделаем проверку. Нужно найти
x
U
∂
∂
и
y
U
∂
∂
. Если
()
yxP
x
U
,=
∂
∂
и
()
yxQ
y
U
,=
∂
∂
, задача решена верно.
Проверка.
()()
yxPyxe
x
U
yx
,cos =−+=
∂
∂
+
;
В(х, у)
О А(х, 0) х
у
Рис. 7

Страницы