Математический анализ. Криволинейные интегралы. Уманец М.Л - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

5
Если
()
0, >yxf то криволинейный интеграл I рода
()
∫
K
dLyxf ,
представляет массу кривой (К), имеющей переменную линейную плот-
ность
()
yx,
γ
γ
= ,
()
∫
=
AB
dLyxm ,
γ
.
Если
()
0, ≥yxf
то криволинейный интеграл I рода
()
∫
K
dLyxf , чис-
ленно равен площади части цилиндрической поверхности, у которой на-
правляющая (К) лежит в плоскости хОу, а образующие перпендикулярны
ей, эта цилиндрическая поверхность ограничена сверху поверхностью
()
yxfz ,= , а снизу плоскостью хОу.
Основные свойства криволинейного интеграла первого рода.
1. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути
интегрирования:
(
)
(
)
∫∫
=
BAAB
dLyxfdLyxf ,,.
2.
() ()()
(
)
(
)
∫∫∫
±=±
К KK
dLyxfdLyxfdLyxfyxf ,,,,
2121
.
3.
() ()
∫∫
=
KK
dLyxfcdLyxcf ,,
, где
cons
t
c
=
.
4. Если контур интегрирования (К) разбит на две части К
1
и К
2
, то
()
(
)
(
)
dLyxfdLyxfdLyxf
KKK
∫∫∫
+=
12
,,,.
Пример №1.
Вычислить
()
∫
−
K
dLyx
, где (К) – отрезок прямой от А(0, 0) до В(3, 4).
Решение.
Найдем уравнение прямой (АВ). Она проходит через начало коорди-
нат (Рис. 1). Ее уравнение
xytgkkxy
3
4
,
3
4
, ====
α
– путь интегри-
рования задан по формуле (1).
Находим
3
4
=y
&
, тогда
dxdxdL
3
5
3
4
1
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
.
()
2
5
29
5
9
5
3
5
3
4
3
0
2
3
0
3
0
=⋅==⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−
∫∫∫
x
dxxdxxxdLxy
K

Страницы