Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Умнов А.Е. - 106 стр.

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МФТИ | Москва

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Рубрика: 

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 ‘˺¯ËäÈ             |¯ˆººÓÈã ÓÈ« äȈ¯ÒÈ mˆº¯ºº ¹º¯«}È Q  ã« }ºˆº¯º® det Q = 1 
 
                                                                                      cosϕ     − sin ϕ
                      äºÎˈ ­©ˆ  ¹¯Ë°ˆÈmãËÓÈ m mÒË                                                  Ë ϕ  ÓË}ºˆº¯ºË
                                                                                      sin ϕ       cosϕ
                                                                                                                cosϕ      sin ϕ
                      Ò°ãºÈº¯ˆººÓÈã ÓÈ«äȈ¯ÒÈ° det Q = −1 mmÒË                                                   
                                                                                                                sin ϕ   − cosϕ
             
             
    iº}ÈÏȈËã°ˆmº
     
                                             ω11        ω12
         ‚°ˆ  äȈ¯ÒÈ Q =                                       º¯ˆººÓÈã ÓÈ« ˆºÈ ºãÎÓ© ­©ˆ  °¹¯ÈmË
                                             ω 21       ω 22
                                                    T       ω11       ω12            ω11    ω21
         ãÒm© ¯ÈmËÓ°ˆmÈ                 Q Q           =                                          = E  Ò °ã˺mȈËã Óº
                                                            ω21       ω22            ω12    ω22
                ω112 + ω122  ω11ω21 + ω12ω22   1                        0
                                             =                                  
             ω11ω21 + ω12ω22    ω21 + ω22
                                  2     2
                                               0                        1
         
         º°ãËÓËËäȈ¯ÒӺ˯ÈmËÓ°ˆmºäºÎˈ­©ˆ ÏȹҰÈÓºmmÒË°Ò°ˆËä©°}È㫯
         Ó©²‚°ãºmÒ®
                                                                   ω112 + ω122 = 1
                                                        
                                                                   ω11ω21 + ω12ω22 = 0 
                                                                   ω212 + ω222 = 1
                                                        
         

         ¹¯ÒËäÒϪˆÒ²¯ÈmËÓ°ˆm}È}­©ãº¹º}ÈÏÈÓº¹¯Òº}ÈÏȈËã °ˆmˈ˺¯Ëä©
         °ãË‚ˈˆº det Q = ±1 cÈ°°äºˆ¯ÒämÓÈÈãË°ã‚È® det Q = 1 
         
         p°ãÒ ÒÏ °‚ää© ¹Ë¯mºº Ò ˆ¯Ëˆ ˺ ‚¯ÈmÓËÓÒ® °Ò°ˆËä© m©Ë°ˆ  ‚mºËÓÓºË ¯È
         mËÓ°ˆmº ω11ω22 − ω12ω21 = 1 ˆºä©¹ºã‚ÈËä
         

                 (ω112 + ω122 ) + (ω212 + ω222 ) − 2(ω11ω22 − ω12ω21 ) = 0 ÒãÒ (ω11 − ω22 ) 2 + (ω12 + ω21 ) 2 = 0 
                                                                            


                                         ω11 = ω22
         ºˆ}‚È°ãË‚ˈˆº                       
                                         ω12 = −ω21
         
         sÈ}ºÓË             ÒÏ      ‚°ãºmÒ®               ω112 + ω122 = 1        ;    ω212 + ω222 = 1    ÒäËËä     ºËÓ}Ò
                                                                                 ω11 = cosϕ
         0 ≤ ω112 ≤ 1 ; 0 ≤ ω212 ≤ 1  }ºˆº¯©Ë ¹ºÏmºã« ˆ mmË°ˆÒ º­ºÏÓÈËÓÒ«             
                                                                                 ω21 = sin ϕ
         ¹¯Òmº«ÒË } ˆ¯Ë­‚Ëäºä‚ mÒ‚ äȈ¯Ò© Q  ¹º°}ºã }‚ ÒÏ ¹ºã‚ËÓÓ©²
         °ººˆÓº ËÓÒ®°ãË‚ˈˆº ω112 + ω21
                                           2
                                              = 1 
         
        vã‚È® det Q = −1 ¯È°°äȈ¯ÒmÈˈ°«ÈÓÈãºÒÓº
        
     ‘˺¯ËäȺ}ÈÏÈÓÈ
             

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