Проектирование бортовых комплексов управления: Текст лекций. Умнов А.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

27
â äàííîé òî÷êå ôóíêöèÿ L(x, u) äîñòèãàåò ýêñòðåìóìà íà çàäàííîì îã-
ðàíè÷åíèè f (x, u) = 0 . Ïðîâåäåì â òî÷êå êàñàíèÿ ôóíêöèé êàñàòåëü-
íóþ Ð. Ýòà êàñàòåëüíàÿ áóäåò îáùåé êàê äëÿ f (x, u) = 0 , òàê è äëÿ
L(x, u) = C
2
. Ãðàäèåíòû ôóíêöèé L(x, u) = C
2
è f (x, u) = 0 â òî÷êå
êàñàíèÿ áóäóò íàïðàâëåíû â ðàçíûå ñòîðîíû è ïåðïåíäèêóëÿðíû ê êàñà-
òåëüíîé, ïîýòîìó îíè ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ïðÿìîé, îòêóäà ñëåäóåò:
f
L
∇−=∇
rr
λ
, èëè
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
u
f
x
f
u
L
L
,
,
λ
. (5.3)
Ïîñòîÿííàÿ λ âûðàâíèâàåò, ñîãëàñîâûâàåò ãðàäèåíòû ôóíêöèé
L(x, u) = C
2
è f (x, u) = 0 â òî÷êå êàñàíèÿ.
Èç (5.3) ñëåäóåò:
0; 0
Lf Lf
xx uu
∂∂ ∂∂
+λ = +λ =
∂∂ ∂∂
. (5.4)
Íî ñîîòíîøåíèÿ (5.4) è óñëîâèå (5.2) îïðåäåëÿþò áåçóñëîâíûé ýê-
ñòðåìóì íîâîé ôóíêöèè
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
u
x
f
u
x
L
u
x
H
λλ
+=
. (5.5)
Äëÿ ýòîé ôóíêöèè óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà (5.1) èìåþò âèä:
0; 0; 0
HHH
xu
∂∂∂
===
∂∂∂λ
, (5.6)
÷òî ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñ (5.2), (5.4).
Ïîñòîÿííàÿ λ ïîëó÷èëà íàçâàíèå ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà. Ñ ïîìîùüþ
ýòîãî ìíîæèòåëÿ çàäà÷à íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å íà
áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì äëÿ ôóíêöèè H(x,u,λ).
C
0
C
1
P
f (
x,u)=0
L(
x,u)=C
2
u
x
C
2
C
3
∇
r
f
∇
r
L
Ðèñ. 5.1. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ çàäà÷è
íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì

Страницы