ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
31
где первое слагаемое – общее решение однородного уравнения, второе – частное
решение неоднородного уравнения. Для построение последнего каждую новую
обобщенную силу представим в виде ряда Фурье:
akptpb
kk
k
sks
/2 ),sin(
0
πτ
=+=Θ
∑
∞
=
(70)
∫
τ+Θ=
a
kkssk
dttp
a
b
0
)sin(
2
Частное решение будем отыскивать в виде
)sin(
~
0
kk
k
sks
tpg
τθ
+=
∑
∞
=
(71)
После подстановки выражений (70) и (71) в уравнение (68) получаем
∑∑
∞
=
∞
=
+=+−
00
22
)sin()sin()(
k
kksk
k
kkkssk
tpbtppg
ττω
Приравнивая коэффициенты при )sin(
k
t
k
p
τ
+
, получаем
22
ks
sk
sk
p
b
g
−
=
ω
(72)
Из выражения (72) вытекает, что решение в виде (71) существует только при
условии, kp
ks
∀≠ для
ω
. В противном случае, если некоторое
sm
p
ω
→ , то
соответствующий коэффициент ряда Фурье
∞
→
sm
g . Покажем, что амплитуда
колебаний в этом случае растет пропорционально времени. Для этого рассмотри
следующую задачу Коши
0(0) ,0(0) ,sin
2
===+
θθθωθ
&&&
ptb
Упитывая, что общее решение уравнения имеет вид
pt
p
b
tYtX sinsincos
22
−
++=
ω
ωωθ
Удовлетворяя начальным условиям, получаем
)(
,0
22
p
pb
YX
−
−==
ωω
