Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

4
Свойство симметрии коэффициентов
ijji
aa
=
легко доказать для системы,
состоящей из
N
материальных точек, на которую наложены голономные
стационарные связи вида
),...,(
1 Nk
rrf
r
r
= 0, k=1,.., p (2)
где
k
r
r
(x
k1
, x
k2
, x
k3
) – радиусы векторы материальных точек,
p
N
n −= 3 - число
степеней свободы.
Действительно, после выбора системы обобщенных координат
i
q , опираясь
на соотношения (2), каждый радиус вектор можно представить в виде
),...,(
1 nkk
qqrr
r
r
=
Рассмотрим теперь выражение для кинетической энергии. Имеем
2
1
2
1
k
N
k
k
vmT
r
∑
=
= (3)
Учитывая, что
∑
=
∂
∂
==
n
i
i
i
k
kk
q
q
r
rv
1
&
r
&
rr
(4)
после подстановки (4) в (3) получаем
ji
n
ji
ijji
N
k
n
ji
j
k
i
k
k
n
j
j
j
k
N
k
n
i
i
i
k
k
qqaqq
q
r
q
r
mq
q
r
q
q
r
mT
&&&&
r
r
&
r
&
r
∑∑∑∑∑∑
======
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
1,11,111
2
1
2
1
2
1
где
ji
N
k
i
k
j
k
k
N
k
j
k
i
k
kij
a
q
r
q
r
m
q
r
q
r
ma =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∑∑
== 11
r
r
rr
Покажем, что
в положении равновесия потенциальная энергия
принимает стационарное значение,
т.е. ее полная вариация
0
0
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∑
=
i
n
i
i
q
q
V
V
δδ
(5)

Страницы