Математические основы обработки сигналов. Практикум. Вадутов О.С. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

60
10.2.2. Билинейное преобразование
Передаточная функция цифрового фильтра может быть получена
путем преобразования передаточной функции аналогового фильтра. Для
этих целей, как правило, используется метод билинейного преобразова-
ния, имеющий некоторые преимущества перед другими методами. Ос-
нову метода составляет конформное отображение
s
-плоскости в z -
плоскость при помощи соотношения
1
1
1
12
−
−
+
−
⋅=
z
z
T
s . (10.3)
Каждой точке комплексной плоскости ω
j
s
+
δ
=
выражение (10.3)
ставит в соответствие определенную точку на плоскости
()
[]
Tjz ω exp +δ= и при этом отображает:
1) открытую левую
s
-полуплоскость в область, расположенную
внутри единичного круга (| | 1z
<
);
2) мнимую ось
s
-плоскости в единичную окружность (1|| =z );
3) открытую правую полуплоскость
s
в область, расположенную
вне единичного круга (| | 1z > ).
Подстановкой (10.3) в передаточную функцию )(
а
sH аналогового
фильтра получают передаточную функцию
)(
z
H
цифрового фильтра
(
)
(
)
1
1
1
12
а
−
−
+
−
⋅=
=
z
z
T
s
sHzH . (10.4)
Однако соотношение между частотой
аналогового фильтра и часто-
той ω цифрового фильтра оказывается существенно нелинейным. Дей-
ствительно, из формулы (10.3) при
=
j
s
и
(
)
Tjz ω exp
=
следует, что
2
tg
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
⋅=Ω
T
T
. (10.5)
При переходе от частоты
к частоте
ω
длительности полос про-
пускания и задерживания частотных интервалов деформируются. Но все
максимумы и минимумы АЧХ аналогового фильтра сохраняются и в
АЧХ цифрового фильтра. При этом сохраняются основные свойства
фильтров (тип, неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов
частот и др.). Деформация шкалы частот проявляется и в искажениях
ФЧХ фильтра.
Все полюса аналогового
фильтра, расположенные в левой половине
s
-плоскости, при билинейном преобразовании отображаются во внут-
реннюю область единичного круга, поэтому цифровой фильтр будет ус-
тойчивым, если устойчив аналоговый прототип.

Страницы