Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 20 стр.

                           Δl = Δl1 + Δl 2 = 0.          (3.18)        где α1 и α2 – коэффициенты линейного расширения материалов
     Рассмотрим физическую сторону задачи и абсолютные уд-             бруса.
линения участков Δl 1 и Δl 2 , используя закон Гука по формуле              Подставляя формулы (3.26) в формулу (3.18) и используя
                                                                       (3.20), найдем реакцию VB при совместном воздействии на брус
(3.13), выразим через продольные силы N1 и N2:
                                                                       силы F и изменением температуры окружающей среды на Δt
                         N ⋅l              N ⋅l
                   Δl1 = 1 1 ;       Δl 2 = 2 2 .        (3.19)        градусов.
                         E1 ⋅ A1           E2 ⋅ A2
     В этих формулах N1 и N 2 представляют собой выражения             ПРИМЕР 3.4
продольных сил на участках 1 и 2, записываемые по методу се-
чений:                                                                     Требуется определить реакции опор и построить эпюры
                  N1 = VB − F;      N 2 = VB .        (3.20)           продольных сил, нормальных напряжений и перемещений сече-
     Подставим выражения (3.19) с учетом (3.20) в формулу              ний для составного бруса ступенчатого сечения, изображенного
(3.18) и получим:                                                      на рис. 3.10а, при следующих исходных данных:
                         (V − F) ⋅ l1 VB ⋅ l 2                              F = 100 кH;
                    Δl = B           +          = 0.  (3.21)                Δ = 1 ⋅ 10 −4 м;         Δt = 30 °C;
                           E1 ⋅ A1      E2 ⋅ A2
                                                                           A1 = 2 ⋅ 10−3 м 2 ;               E1 = 2 ⋅ 108 кПа;
                                  E 2 ⋅ A 2 ⋅ F ⋅ l1                       A 2 = 2A1 = 4 ⋅ 10−3 м 2 ;        E 2 = 0,7 ⋅ 108 кПа;
    Отсюда найдем VB =                                      .
                            E 2 ⋅ A 2 ⋅ l 1 + E1 ⋅ A1 ⋅ l 2                α1 = 12,5 ⋅ 10−6 1        ;       α 2 = 22,5 ⋅ 10−6 1           .
                                                                                              град                                  град
    При условии E1 = E 2 получим:
                            F ⋅ l1 ⋅ A 2
                 VB =                        .                (3.22)       РЕШЕНИЕ
                        A 2 ⋅ l 1 + A1 ⋅ l 2                               1. Найдем полное удлинение бруса Δl при увеличении
                                             F ⋅ l1                    температуры на Δt = 30 °C и воздействии силы F при отсутствии
    Если A1 = A 2 , то              VB =              .       (3.23)
                                           l1 + l 2                    правой опоры
                                               F ⋅ l1                                                        Fl1
    Если A1 = 2A 2 , то             VB =                 .    (3.24)            Δl = Δl 1 + Δl 2 = α1l1Δt +      + α 2 l 2 Δt =
                                           l1 + 2 ⋅ l 2                                                     E1A1
    Реакцию VA найдем из уравнения статики:                                                                     100 ⋅ 2
                                                                                = 12,5 ⋅ 10−6 ⋅ 2 ⋅ 30 +                   −3
                                                                                                                              + 22,5 ⋅ 10−6 ⋅ 1 ⋅ 30 =
                              VA = F − VB .                   (3.25)                                       2 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10
                                                                                                                 8


    При равномерном изменении температуры окружающей                            = 19, 25 ⋅ 10−4 м.
среды вокруг бруса на Δt° формулы (3.19) запишутся в виде:                 Имеющийся зазор Δ между правой опорой и сечением В
                           N ⋅l                            ⎫           бруса меньше полученной величины полного удлинения Δl, т.е.
                   Δl1 = 1 1 + α1 ⋅ l1 ⋅ Δt °              ⎪
                          E1 ⋅ A1                          ⎪                          Δ = 1 ⋅ 10−4 м < Δl = 19,25 ⋅ 10−4 м.
                                                           ⎬, (3.26)
                                                                           Таким образом, после закрытия зазора задача становится
                           N2 ⋅ l 2                        ⎪
                   Δl 2 =             + α 2 ⋅ l 2 ⋅ Δt °               один раз статически неопределимой.
                           E2 ⋅ A2                         ⎪⎭
                                   38                                                                          39