Составители:
Рубрика:
42
65
5
112,95 2
12,5 10 2 30 18,52 10 м.
410
−−
−⋅
=+⋅⋅⋅=⋅
⋅
3
2
(2)
3
2
N 212,95
53,24 10 кПа 53,24 МПа.
A410
−
−
σ= = =− ⋅ =−
⋅
5
22
B12 22
22
56
5
5
N
u18,5210 t
EA
212,95 1
18,52 10 22,5 10 1 30
2,8 10
9,97 10 м ,
−
−−
−
=Δ +Δ = ⋅ + +α Δ =
−⋅
=⋅+ +⋅⋅⋅=
⋅
=⋅ ≈Δ
l
ll l
т.е. геометрическое условие (3.28) выполняется.
ПРИМЕР 3.5
ДАНО: Абсолютно жесткий брус АВС, один конец которого
опирается на шарнирно-неподвижную опору А, закреплен еще
двумя стержнями 1 и 2 в точках В и С (рис. 3.11).
ТРЕБУЕТСЯ: 1. Определить усилия в стержнях 1 и 2 при
заданной нагрузке и из условия прочности стержней определить
площади их поперечных сечений А
1
и А
2
при А
1
= 1,5А
2
и
R = 200 МПа.
2. При полученных значениях площадей сечений опреде-
лить величину допускаемой интенсивности равномерно распре-
деленной нагрузки [q]
пр
по методу предельного равновесия и
сравнить ее с заданной величиной q.
Предел текучести σ
S
= 240 МПа, коэффициент запаса проч-
ности n = 1,2.
РЕШЕНИЕ
Предварительно определим расстояние между точками А и
С:
АС
l
=
2222
АВ ВС 64 7,21+=+=м.
Покажем на рисунке реакции опор: V
A
, H
А
, V
D
и H
E
. Про-
дольные усилия в стержнях 1 и 2 – N
1
, N
2
– равны соответст-
вующим реакциям опор, т.е. N
1
= V
D
и N
2
= H
E
. В данной систе-
ме имеется 4 неизвестных опорных реакций, а уравнений равно-
43
весия может быть составлено только 3. Это значит, что задача
является один раз статически неопределимой.
1.
Статическая сторона задачи.
Составим уравнение равновесия. Так как согласно условию
задачи необходимо определить усилия в стержнях 1 и 2, напи-
шем уравнение равновесия, в которое войдут только усилия N
1
и
N
2
. Таким условием равновесия является
А
М 0:
=
∑
N
1
⋅
6 + N
2
⋅
4 – q
⋅
6
⋅
3 = 0. (3.31)
2.
Геометрическая сторона задачи.
Для получения недостающего уравнения дадим возможное
перемещение системе и
составим условие совместности де-
формации
стержней 1 и 2. Брус АВС абсолютно жесткий (т.е. не
деформируемый), поэтому при повороте бруса на некоторый
угол
ϕ
точки прикрепления стержней В и С переместятся по ду-
ге окружности на величину u
B
и u
C
пропорционально радиусам
поворота АВ и АС. В силу малости перемещений длины этих
дуг можно считать равными перпендикулярам к радиусам АВ и
АС. Из подобия треугольников АВВ
1
и АСС
1
(рис. 3.11а) следует:
tg
ϕ
≈
ϕ
=
С
В
u
u
АВ АС
=
или
С
В
u
u
.
67,21
=
(3.32)
H
A
C
u
А
В
В
1
С
С
1
С
2
α
dφ
q=20 кН/м
6 м
2
2 м
=
l
4 м
dφ
V
D
= N
1
H
E
= N
2
1
2
V
A
1B
u
Δ
=l
C
1
а)
α
2
Δ
l
C
C
u
2
б)
В
2
Рис. 3.11
1
2,5м
=
l
2
Δ
l
D
E
−112,95 ⋅ 2 весия может быть составлено только 3. Это значит, что задача
= + 12,5 ⋅ 10−6 ⋅ 2 ⋅ 30 = 18,52 ⋅ 10−5 м. является один раз статически неопределимой.
4 ⋅ 105
N −212,95 1. Статическая сторона задачи.
σ(2) = 2 = = −53, 24 ⋅ 103 кПа = −53,24 МПа. Составим уравнение равновесия. Так как согласно условию
A2 4 ⋅ 10−3 задачи необходимо определить усилия в стержнях 1 и 2, напи-
Nl шем уравнение равновесия, в которое войдут только усилия N1 и
u B = Δl1 + Δl 2 = 18,52 ⋅ 10−5 + 2 2 + α 2 l 2 Δt =
E2A2 N2. Таким условием равновесия является ∑ МА = 0 :
−212,95 ⋅ 1 N1 ⋅ 6 + N2 ⋅ 4 – q ⋅ 6 ⋅ 3 = 0. (3.31)
= 18,52 ⋅ 10−5 + + 22,5 ⋅ 10−6 ⋅ 1 ⋅ 30 =
2,8 ⋅ 105 2. Геометрическая сторона задачи.
Для получения недостающего уравнения дадим возможное
= 9,97 ⋅ 10−5 м ≈ Δ,
перемещение системе и составим условие совместности де-
т.е. геометрическое условие (3.28) выполняется. формации стержней 1 и 2. Брус АВС абсолютно жесткий (т.е. не
деформируемый), поэтому при повороте бруса на некоторый
ПРИМЕР 3.5 угол ϕ точки прикрепления стержней В и С переместятся по ду-
ге окружности на величину uB и uC пропорционально радиусам
ДАНО: Абсолютно жесткий брус АВС, один конец которого
поворота АВ и АС. В силу малости перемещений длины этих
опирается на шарнирно-неподвижную опору А, закреплен еще
дуг можно считать равными перпендикулярам к радиусам АВ и
двумя стержнями 1 и 2 в точках В и С (рис. 3.11).
АС. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 (рис. 3.11а) следует:
ТРЕБУЕТСЯ: 1. Определить усилия в стержнях 1 и 2 при
заданной нагрузке и из условия прочности стержней определить u u u u
tg ϕ ≈ ϕ = В = С или В = С . (3.32)
площади их поперечных сечений А1 и А2 при А1 = 1,5А2 и АВ АС 6 7, 21
R = 200 МПа.
2. При полученных значениях площадей сечений опреде- VD = N1
лить величину допускаемой интенсивности равномерно распре- б)
а)
деленной нагрузки [q]пр по методу предельного равновесия и D
1
сравнить ее с заданной величиной q. q=20 кН/м l 1 = 2,5м Δl 2 2
Предел текучести σS = 240 МПа, коэффициент запаса проч- В С2
C
HA А
ности n = 1,2. α
dφ Δl1 = u B
α В1 C1 uC
РЕШЕНИЕ В2 4м
VA
Предварительно определим расстояние между точками А и
dφ 2
С: l АС = АВ2 + ВС 2 = 62 + 42 = 7, 21 м. С HE = N2
Покажем на рисунке реакции опор: VA, HА, VD и HE. Про- E
Δl 2 uC
дольные усилия в стержнях 1 и 2 – N1 , N2 – равны соответст- С1
вующим реакциям опор, т.е. N1 = VD и N2 = HE. В данной систе- 6м l2 = 2 м
ме имеется 4 неизвестных опорных реакций, а уравнений равно-
Рис. 3.11
42 43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
