Составители:
Рубрика:
44
Равенство (3.32) представляет собой условие совместности
перемещений точек крепления стержней 1 и 2 к абсолютно же-
сткому стержню.
Для получения абсолютных деформаций стержней
1
Δ
l и
2
Δ
l
из новых положений точек В
1
и С
1
опустим перпендикуляры на
заданные первоначально направления стержней 1 и 2.
Из рис. 3.11а видно, что точки В
1
и В
2
совпали и
В 1
u,
=
Δl а
из рис. 3.11б следует, что удлинением стержня 2 является отре-
зок СС
2
, который представляет собой катет прямоугольного тре-
угольника СС
2
С
1
. Из этого треугольника получаем:
2
С
u
sin
Δ
=
α
l
. (3.33)
Равенства (3.33) подставим в уравнение (3.32) и получим
уравнение совместности деформации стержней 1 и 2:
12
.
67,21sin
ΔΔ
=
⋅α
ll
(3.34)
3.
Физическая сторона задачи.
Удлинение стержней выражаем в соответствии с законом
Гука через усилия в стержнях N
1
и N
2
:
11
1
1
N
;
EA
⋅
Δ=
⋅
l
l
22
2
2
N
.
EA
⋅
Δ=
⋅
l
l (3.35)
Подставим выражения (3.35) в формулу (3.34) и получим:
11 2 2
12
NN
.
EA 6 EA 7,21sin
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅⋅ α
ll
4.
Определение продольных усилий в стержнях 1 и 2.
Подставляя в эту формулу числовые значения и учитывая,
что А
1
= 1,5А
2
, sin
α
=
4
0,555,
7, 21
=
получим
12
22
N2,5 N2
.
1,5A 6 7,21 A 0,555
⋅
⋅
=
⋅⋅⋅
Отсюда N
1
= 1,799N
2
(3.36)
или N
2
= 0,556N
1
. (3.37)
Решая совместно уравнения (3.31) и (3.36), получаем:
1,799N
2
⋅ 6+N
2
⋅ 4 – q ⋅ 6 ⋅ 3 = 0 при q = 20 кН/м,
45
N
2
= 24,33 кН; N
1
= 1,799 ⋅ 24,33 = 43,79 кН.
5.
Подбор сечений стержней 1 и 2:
Выразим напряжения в стержнях:
(1)
σ
=
1
122
N
43,79 29,19
;
A1,5A A
==
2
(2)
22
N
24,33
.
AA
σ= =
Так как
(1) (2)
,
σ
>σ
из условия прочности в наиболее напря-
женном стержне определим требуемую площадь поперечного
сечения:
3
(1)
2
29,19
R 200 10 кПа,
A
σ= = = ⋅ отсюда
А
2
=
3
29,19
200 10
=
⋅
0,146
⋅
10
–3
м
2
= 1,46 см
2
.
Тогда А
1
= 1,5А
2
= 1,5
⋅
1,46 см
2
= 2,19 см
2
.
Определим напряжения в стержнях и проведем проверку
прочности:
3
1
(1)
4
1
N
43,79
199,95 10 кПа R.
A2,1910
−
σ
== = ⋅ ≈
⋅
3
2
(2)
42
2
N
24,33 кН
166,64 10 кПа R.
A1,4610м
−
σ
== = ⋅ <
⋅
6.
Определение допускаемой величины интенсивности на-
грузки [q]
пр
по методу предельного равновесия.
Выше сечения стержней были подобраны из условия проч-
ности по методу расчетных сопротивлений, т.е. когда
max
R.
σ
≤
В расчете по методу предельного равновесия условие проч-
ности ограничивает не напряжения, а допускаемую нагрузку, ко-
торая определяется как отношение предельной нагрузки к коэф-
фициенту запаса:
[]
пред
max
пред
q
qq.
n
≤=
В статически неопределимых системах при одинаковом ко-
эффициенте запаса по напряжениям и нагрузкам, т.е.
Равенство (3.32) представляет собой условие совместности N2 = 24,33 кН; N1 = 1,799 ⋅ 24,33 = 43,79 кН.
перемещений точек крепления стержней 1 и 2 к абсолютно же- 5. Подбор сечений стержней 1 и 2:
сткому стержню. Выразим напряжения в стержнях:
Для получения абсолютных деформаций стержней Δl1 и Δl 2 N 43,79 29,19
σ (1) = 1 = = ;
из новых положений точек В1 и С1 опустим перпендикуляры на A1 1,5A 2 A2
заданные первоначально направления стержней 1 и 2.
N 24,33
Из рис. 3.11а видно, что точки В1 и В2 совпали и u В = Δl1 , а σ(2) = 2 = .
A2 A2
из рис. 3.11б следует, что удлинением стержня 2 является отре-
зок СС2, который представляет собой катет прямоугольного тре- Так как σ(1) > σ(2) , из условия прочности в наиболее напря-
угольника СС2С1. Из этого треугольника получаем: женном стержне определим требуемую площадь поперечного
Δl 2 сечения:
uС = . (3.33)
sin α 29,19
σ(1) = = R = 200 ⋅ 103 кПа, отсюда
Равенства (3.33) подставим в уравнение (3.32) и получим A2
уравнение совместности деформации стержней 1 и 2: 29,19 –3 2 2
Δl1 Δl 2 А2 = = 0,146 ⋅ 10 м = 1,46 см .
= . (3.34) 200 ⋅103
6 7, 21 ⋅ sin α Тогда А1 = 1,5А2 = 1,5 ⋅ 1,46 см2 = 2,19 см2.
3. Физическая сторона задачи. Определим напряжения в стержнях и проведем проверку
Удлинение стержней выражаем в соответствии с законом прочности:
Гука через усилия в стержнях N1 и N2: N 43,79
σ(1) = 1 = = 199,95 ⋅ 103 кПа ≈ R.
N ⋅l N ⋅l A1 2,19 ⋅ 10 −4
Δl 1 = 1 1 ; Δl 2 = 2 2 . (3.35)
E ⋅ A1 E ⋅ A2 N 24,33 кН
Подставим выражения (3.35) в формулу (3.34) и получим: σ(2) = 2 = −4 2
= 166,64 ⋅ 103 кПа < R.
A 2 1, 46 ⋅ 10 м
N1 ⋅ l1 N2 ⋅ l 2
= . 6. Определение допускаемой величины интенсивности на-
E ⋅ A1 ⋅ 6 E ⋅ A 2 ⋅ 7, 21sin α грузки [q]пр по методу предельного равновесия.
4. Определение продольных усилий в стержнях 1 и 2. Выше сечения стержней были подобраны из условия проч-
Подставляя в эту формулу числовые значения и учитывая, ности по методу расчетных сопротивлений, т.е. когда σ max ≤ R.
4
что А1 = 1,5А2, sin α = = 0,555, получим В расчете по методу предельного равновесия условие проч-
7, 21
ности ограничивает не напряжения, а допускаемую нагрузку, ко-
N1 ⋅ 2,5 N2 ⋅ 2 торая определяется как отношение предельной нагрузки к коэф-
= .
1,5A 2 ⋅ 6 7, 21 ⋅ A 2 ⋅ 0,555 фициенту запаса:
Отсюда N1 = 1,799N2 (3.36) q пред
q max ≤ = [ q ]пред .
или N2 = 0,556N1. (3.37) n
Решая совместно уравнения (3.31) и (3.36), получаем: В статически неопределимых системах при одинаковом ко-
1,799N2 ⋅ 6+N2 ⋅ 4 – q ⋅ 6 ⋅ 3 = 0 при q = 20 кН/м, эффициенте запаса по напряжениям и нагрузкам, т.е.
44 45
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
