Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 27 стр.

                                   dx                  dy                         вместо α подставим α+90˚. После указанной подстановки полу-
      ∑M    0
                = τ yx dy ⋅ dz ⋅
                                    2
                                      + τ xy dx ⋅ dz ⋅
                                                        2
                                                          = 0 , отсюда:           чим
                                                                                             σ α + 90° = σ x sin 2 α + σ y cos 2 α + τ yx sin2α . (4.4)
                                         τ yx = −τ xy                     (4.1)      Найдем сумму нормальных напряжений на двух взаимно
                                                                                  перпендикулярных площадках σα и σα+90°, т.е. сложим напряже-
     Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно                        ния по формулам (4.2) и (4.4) и получим:
перпендикулярным площадкам, действующие по нормали к реб-
                                                                                                σ α + σ α + 90° = σ x + σ y = const ,     (4.5)
ру, равны по абсолютной величине и направлены в противопо-
ложные стороны. Эта зависимость между τyx и τxy называется                             Таким образом, сумма нормальных напряжений на двух вза-
законом парности касательных напряжений.                                          имно перпендикулярных площадках есть величина постоянная и
     2. ∑ V = Fα − Fx ⋅ cos α − Tx ⋅ cos α − Fy ⋅ sin α + Ty ⋅ sin α = 0          от положения этих площадок не зависит. Следовательно, если
                                                                                  по одной из таких площадок нормальные напряжения имеют
(рис. 4.3в);                                                                      максимальное значение, то по другой они имеют минимальное
     ΣV = σ α ds ⋅ dz − σ x dy ⋅ dz ⋅ cosα − τ xy dy ⋅ dz ⋅ cosα −                значение.
                     − σ y dx ⋅ dz ⋅ sinα + τ yx dx ⋅ dz ⋅ sinα = 0.                   При расчете инженерных конструкций нет необходимости
                                                                                  определять нормальные напряжения по всем площадкам, прохо-
     Решим это уравнение относительно σα. Учитывая, что
                                                                                  дящим через заданную точку. Достаточно знать максимальные и
dx          dy                                                                    минимальные их значения, которые, как отмечалось ранее, назы-
   = sinα ,    = cos α , после элементарных преобразований, с
ds          ds                                                                    ваются главными напряжениями.
учетом (4.1) получим:                                                                  Для определения величин главных напряжений и положения
                  σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − τ yx sin2α .          (4.2)   главных площадок функцию для σα (4.2) исследуем на экстре-
                                                                                  мум, т.е. приравняем нулю первую производную от напряжения
    3. ∑ U = 0.                                                                   σα по α при некотором значении угла α = α0:
   Расписав это уравнение равновесия и используя преобразо-                              dσ α
                                                                                              = −σ x ⋅ 2sin α ⋅ cos α + σ y ⋅ 2sin α ⋅ cos α − τ yx 2cos 2α.
вания, приведенные для второго уравнения равновесия, полу-                                dα
чим:                                                                                   При α = α 0 , используя известные тригонометрические зави-
                             σx − σy                                              симости, получим:
                     τα =                 ⋅ sin2α + τ yx cos2α .          (4.3)
                                    2                                                   ⎛ dσ α ⎞                σx − σy
                                                                                        ⎜      ⎟       = −2 ⋅ (         ⋅ sin2α 0 + τ yx cos2α 0 ) = 0 . (4.5)′
                                                                                        ⎝ dα ⎠ α = α 0          14 244442444443
    Формулы (4.2) и (4.3) позволяют определять нормальные и
касательные напряжения по любым площадкам, проходящим                                                                        τα
                                                                                                                                0
через заданную точку, если известны нормальные и касательные                      Здесь α0 – угол наклона главной площадки к площадке, в кото-
напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.                            рой действуют заданные напряжения σх (рис. 4.3б).
    Если необходимо определить нормальное напряжение на
площадке, перпендикулярной наклонной, то в формулу (4.2)


                                             52                                                                        53