Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 29 стр.

                                                    (σ1 − σ3 )                                                              ⎡σx         τ xy        τ xz ⎤
Отсюда следует, что                     τ max = ±              ,    (4.12)                                                  ⎢                            ⎥
                                         min            2                                                              Tσ = ⎢ τ yx      σy          τ yz ⎥ .
так как sin(2 α ) = ±1 при α = ±450 , т.е. площадки сдвига накло-                                                           ⎢ τ zx      τ zy        σ z ⎥⎦
нены к главным площадкам под углом ±45˚.                                                                                    ⎣
    Если в формулу (4.12) подставим выражения σ 1 и σ 3 из со-                  Тензор напряжений симметричен относительно главной диа-
                                                                             гонали, поскольку по закону парности касательных напряжений
отношения (4.9), найдем:                                                     имеем:
                                      1                                                                            τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy .
                          τ max = ±     (σ x − σ y ) 2 + 4τ 2уx .   (4.13)
                           min        2                                          Рассмотрим определение главных напряжений и положения
    Определим нормальные напряжения на площадках сдвига.                     главных площадок в случае объемного напряженного состояния
Для их определения формулу (4.2) перепишем, подставляя вме-                  (все три главных напряжения не равны нулю) (рис. 4.4б).
сто напряжений на произвольных площадках σх и σу главные на-                              Y
пряжения σ1 и σ3, а τух = 0:                                                                                                             б)              σ2
                                                                                    а)                 σy
                                                                                                            τ XY      σz                                        σ3
                       σ α = σ1cos 2 α + σ 3sin 2α .  (4.14)
                                                                                              τ ZY
При α = ±45˚ получим формулу для определения нормальных                                                              τYX σ х                                     σ1
                                                                              σх                     τYZ                          σ1
напряжений на площадках сдвига:
                          ⎛ 1 ⎞
                                 2
                                     ⎛ 1 ⎞
                                                2
                                            σ1 + σ 3                                     σz
                                                                                                     τ XZ
       σ α = ± 45°   = σ1 ⎜   ⎟ + σ3 ⎜   ⎟ = 2 .                    (4.15)                                          τZX Х                      σ3
                          ⎝ 2⎠       ⎝ 2⎠                                                                                                                       σ1 ≠ 0
    Таким образом, из (4.14) следует, что нормальные напряже-                                                                                            σ2     σ2 ≠ 0
                                                                                Z                      σу
ния на двух взаимно перпендикулярных площадках сдвига равны
                                                                                                                                                σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3   σ3 ≠ 0
между собой по величине и знаку.
    Если нормальные напряжения на площадках сдвига равны ну-                                                               Рис. 4.4
лю, то такие площадки называются площадками чистого сдвига.
    Примерами чистого сдвига являются кручение и срез.                           Предположим, что нам известно положение главной пло-
                                                                             щадки, определяемой нормалью ν . Сечением, параллельным
   4.3. Исследование объемного напряженного состояния                        этой площадке, выделим из исходного параллелепипеда тетра-
                                                                             эдр, изображенный на рис. 4.5б, и составим условия равновесия
    Как было показано ранее в п. 4.1, напряжения, действующие                тетраэдра в виде суммы проекций действующих на него сил на
на гранях элементарного параллелепипеда, в общем случае на-                  оси координат. Введем обозначения для направляющих косину-
пряженного состояния представляются в виде тензора напряже-                  сов нормали ν :
ний (рис. 4.4а), как упоминалось:                                                     cos( x, ν ) = l ; cos( y, ν ) = m; cos( z, ν ) = n. (4.16)
                                                                                Примем площадь наклонной грани тетраэдра dA = 1, тогда
                                                                             площади других граней будут: dAX = l , dAy = m, dAZ = n.

                                         56                                                                                        57