Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 28 стр.

    Сравнивая выражение (4.5)′ с формулой (4.3), устанавлива-                                         σx + σy    1
                                                                                  σmax = σ1,2(3) =              ± ⋅ (σ x − σ y ) 2 + 4τ 2yx .    (4.9)
        ⎛ dσ ⎞                                                                                           2       2
ем, что ⎜ α ⎟          = −2 ⋅ τ α = 0 .                                            min

        ⎝ dα ⎠ α = α 0           0
                                                                            Определим также площадки, по которым касательные на-
   Отсюда следует, что на главных площадках касательные на-             пряжения имеют экстремальные (максимальные и минимальные)
пряжения равны нулю, т.е.:                                              значения. Такие площадки, как упоминалось в п. 3.4, называются
                   σх −σу                                               площадками сдвига.
          τα0 =                ⋅ sin2α 0 + τ yx cos2α 0 = 0 .   (4.6)       Для этого приравняем нулю первую производную функции
                        2                                               (4.3) при некотором значении угла α1:
     Из соотношения (4.6) получим:                                                ⎛ dτ α ⎞
                                              2τ yx                               ⎜      ⎟      = (σ x − σ y )cos2α 1 − 2τ yx sin2α 1 = 0 .
                            tg2α 0 = −                    ,     (4.7)             ⎝ dα ⎠ α = α1
                                            σx − σy                                                              σx − σy
или, используя (4.1):                                                   Отсюда:                       tg2α 1 =               .                  (4.10)
                                                                                                                     2τ yx
                                            2τ xy
                            tg2α 0 =                  .         (4.8)   Здесь α1 – угол наклона площадки сдвига к заданной площадке,
                                       σx − σy                          по которой действует напряжение σх. Если угол α1 положителен,
    Формулы (4.7) и (4.8) дают значения углов α0, определяющие          то эту площадку надо повернуть против хода часовой стрелки, а
две взаимно перпендикулярные площадки, на которых действу-              если отрицателен – то по ходу часовой стрелки.
ют главные напряжения.                                                      Формула (4.10) дает значение угла α1, определяющее поло-
    Следовательно, для определения положения главных площа-             жение одной из двух взаимно перпендикулярных площадок. По-
док, необходимо площадки, на которых действуют заданные на-             ложение другой площадки определяется поворотом на угол
пряжения σx и σy, повернуть на угол α0 против хода часовой              α+900. По одной из двух площадок действует максимальное ка-
стрелки (при α0 > 0) или по ходу часовой стрелки (при α0 < 0).          сательное напряжение τmax, а по другой – минимальное τmin. Из
    Следует иметь в виду, что наибольшее главное напряжение             закона парности касательных напряжений следует, что
должно проходить в тех четвертях, где сходятся касательные                                        τ max = − τ min .
напряжения τ уx и τху , и оно всегда находится ближе к тому из              Если определены главные площадки, легко определить вели-
заданных нормальных напряжений, значения которого с алгеб-              чины напряжений τ max и положение площадок, на которых они
раической точки зрения больше.                                                                  min

   Главные напряжения можно определить, подставляя значе-               действуют.
ния угла α0 в формулу (4.2).                                               Если в формуле (4.3) для определения касательных напряже-
   Эти же напряжения можно определять и без предваритель-               ний τα на произвольной площадке за исходные примем главные
ного определения угла α0, если (4.7) или (4.8) подставить в фор-        напряжения σ 1 и σ 3 вместо σx и σy, а τуx = 0, то получим:
мулу (4.2). В результате элементарных преобразований получа-
                                                                                                σ1 − σ3
ем следующую формулу для определения величин главных на-                                 τα =           ⋅ sin2α .                               (4.11)
пряжений:                                                                                          2

                                       54                                                                       55