Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 30 стр.

                                           У
                                                                 ν                                     σ3 − I1σ2 + I 2 σ − I3 = 0,        (4.20)
     а)                           б)
                                                 dA=1                               три корня которого и будут значениями трех главных напряже-
          У
                                                                σгл = σ             ний в рассматриваемой точке.
                             dAx= l                                                     Коэффициенты уравнения (4.20) получаются при раскрытии
                   ν                                              σz                определителя (4.19) и имеют следующий вид:
                                         τ xz
                             σx                  τ zx                     dAz = n                           I1 = σ x + σ y + σ z ;
                                                         τ zy
                                                  τ yz                                             I2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z − τ2yx − τ2zx − τ 2zy ;   (4.21)
                                  τ zy                                     Х
                                          τ yx                                               I3 = σ x σ y σz − σ τ − σ τ − σ τ + 2τ yx τ zx τ zy .
                                                                                                                   2         2          2
                         Х                                                                                       x zy      y zx       z yx
                                                 σy                                     Эти коэффициенты не зависят от выбора осей координат,
              Главная             dAy=m
              площадка       Z                                                      поскольку при любых исходных площадках уравнение (4.20)
 Z
                             Рис. 4.5                                               должно давать одни и те же корни σ1 , σ 2 и σ3 – главные напря-
                                                                                    жения в точке. Они называются первым, вторым и третьим ин-
   Единственное напряжение, действующее на главной пло-                             вариантами напряженного состояния (тензора напряжений).
щадке, обозначим σгл = σ . Сумма проекций сил на ось Х запи-                            Для определения направляющих косинусов l, m, n, соот-
шется в виде:                                                                       ветствующих одной из трех главных площадок, значение глав-
                  σl − σ х l − τ ух m − τzx n = 0.                                  ного напряжения на этой площадке надо подставить в (4.17)
    Аналогичные равенства будут для осей Y и Z. Все вместе                          вместо σ . Совместное решение уравнений (4.17) и (4.18) и даст
они составят систему однородных уравнений относительно не-                          искомые значения направляющих косинусов l, m, n.
известных косинусов l , m и n:
                 (σ x − σ)l + τ yx m + τzx n = 0 ⎫                                            4.4. Деформированное состояние в точке.
                                                  ⎪                                                   Обобщенный закон Гука
                 τ xy l + (σ y − σ)m + τzy n = 0 ⎬ . (4.17)
                                                  ⎪
                 τ xz l + τ yz m + (σ z − σ)n = 0 ⎭                                    Установим зависимость относительной линейной деформа-
   Так как между неизвестными существует зависимость                                ции от нормальных напряжений в случае объемного напряжен-
                                                                                    ного состояния.
                          l 2 +m2+n2 = 1,              (4.18)                          Определим относительную продольную деформацию выде-
то одновременно они все не могут быть равны нулю. В этом                            ленного элемента (см. рис. 4.1б) в направлении главного напря-
случае (доказано в линейной алгебре) определитель однородной                        жения σ1, отдельно рассматривая влияние каждого из главных
системы уравнений равен нулю, т.е.                                                  напряжений и складывая результаты в соответствии с принци-
               ( σ x − σ)      τ yx     τzx                                         пом независимости действия сил:
                   τ xy    ( σ y − σ)    τzy    = 0.   (4.19)                                              ε 1 = ε 11 + ε 12 + ε 13 .
                   τ xz        τ yz   (σ z − σ)                                        Под действием напряжения σ1 элемент в направлении этого
                                                                                    напряжения на основании закона Гука получит относительное
     Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение

                                  58                                                                                      59