Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 31 стр.

                                σ1                                                1                       ⎫                  τ xу     2(1 + ν)       ⎫
удлинение, равное ε 11 =           . (Аналогично определятся относи-         εx =   [σ x − ν(σ y + σ z )] ⎪         γ xу =          =           τ xу ⎪
                                Е                                                 Е                                           G          E           ⎪
тельные деформации по направлениям двух других главных на-
                                                                                                          ⎪
                                                                                  1                       ⎪                  τ уz     2(1 + ν )      ⎪
                    σ2         σ                                             ε y = [σ y − ν(σ x + σ z )] ⎬ ,        γ уz =          =           τ уz ⎬ . (4.23)
пряжений: ε 22 =       ; ε 33 = 3 ).                                              Е                       ⎪                G             E           ⎪
                    Е           Е                                                 1                       ⎪               τ           2(1 + ν )      ⎪
    В то же время по отношению к напряжениям σ2 и σ3, ребро                  ε z = [σ z − ν(σ x + σ y )] ⎪          γ zx = zx       =           τzx ⎪
                                                                                  Е                       ⎭                G             E           ⎭
элемента, параллельное σ1, является поперечным размером, а по-
тому под действием напряжений σ2 и σ3 элемент в направлении                  В соотношениях (4.23) использована зависимость между
σ1 испытывает относительные укорочения, равные:                          тремя упругими постоянными материала – модулем упругости 1-го
                                     σ2                         σ        рода Е, коэффициентом Пуассона ν и модулем упругости 2-го
            ε12 = − ν ⋅ ε 22 = − ν      , ε13 = − ν ⋅ ε 33 = − ν 3 .     рода (модулем сдвига) G:
                                     Е                          Е                                          Е
            ε'                                                                                    G=             .
Здесь ν =      – коэффициент поперечной деформации, называе-                                           2(1 + ν )
            ε                                                                Формулы (4.23) показывают, что при изменении нормальных
мый коэффициентом Пуассона; ε' – относительная поперечная                и касательных напряжений на всевозможных площадках, прохо-
деформация; ε – относительная продольная деформация.                     дящих через заданную точку, соответственно изменяются отно-
    Таким образом, полная относительная деформация элемента              сительные линейные деформации и углы сдвига граней выде-
в направлении напряжения σ1 выразится суммой:                            ленного элемента с бесконечно малыми размерами dx, dy, dz.
                              σ1    σ     σ   1                              Совокупность линейных относительных деформаций и углов
 ε 1 = ε 11 + ε 12 + ε 13 =      − ν 2 − ν 3 = [σ 1 − ν(σ 2 + σ 3 )] .   сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через
                              Е      Е     Е Е
    Подобные же выражения получим и для деформаций в двух                заданную точку, называется деформированным состоянием в
других направлениях. В результате имеем:                                 точке.
                                                                             Деформации элемента в трех ортогональных плоскостях
                           1                    ⎫
                      ε1 = [σ1 − ν(σ 2 + σ3 )] ⎪                         представим в виде таблицы
                           Е
                                                ⎪                                               ⎛        1         1 ⎞
                           1                    ⎪
                      ε 2 = [σ 2 − ν(σ1 + σ3 )]⎬ .      (4.22)                                  ⎜ εx     2
                                                                                                           γ yx      γ zx
                                                                                                                   2 ⎟
                           Е                                                                    ⎜                         ⎟
                                                ⎪                                               ⎜1γ                1 ⎟
                           1                    ⎪                                                         ε          γ
                      ε 3 = [σ3 − ν(σ1 + σ 2 )] ⎪                                               ⎜ 2 xy      y
                                                                                                                   2 ⎟
                                                                                                                       zy

                           Е                    ⎭                                               ⎜                         ⎟
                                                                                                ⎜1γ      1
                                                                                                           γ yz     ε z ⎟⎟
    Касательные напряжения не вызывают удлинений ребер                                          ⎜ xz
                                                                                                ⎝2       2                ⎠
выделенного параллелепипеда, а вызывают лишь изменения
прямых углов между его гранями. Закон Гука в общем виде                  аналогичной тензору напряжений и называемой тензором де-
(рис. 4.1а) для объемного напряженного состояния запишется:              формаций.
                                                                             Выражения (4.22) и (4.23), устанавливающие связь между
                                                                         деформациями и напряжениями в общем случае напряженного
                                                                         состояния, носят название обобщенного закона Гука. Они при-
                                        60                                                                     61