Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 33 стр.

изменяется, а форма его остается неизменной (рис. 4.6б); по-                                                              1+ ν
                                                                                                                   uф =        ⎡(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 ⎤⎦ .   (4.33)
                                                                                                                           6E ⎣
тенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется
потенциальной энергией изменения объема.
    Во втором состоянии (рис. 4.6в) объем элемента не изменя-
                                                                                                                                    4.6. Теории прочности
ется, а изменяется лишь его форма; потенциальная энергия, на-
копленная в этом состоянии, называется потенциальной энерги-
                                                                                                                При испытании материалов статической нагрузкой на цен-
ей изменения формы.
                                                                                                            тральное растяжение и сжатие устанавливается их так называе-
    Для того, чтобы получить выражение удельной потенциаль-
                                                                                                            мое, опасное (или предельное) состояние. Оно характеризуется
ной энергии изменения объема, подставим в формулу (4.30) на-
                                                                                                            наступлением текучести материала, сопровождаемое значитель-
                                            σ1 + σ 2 + σ3
пряжения σ1' = σ 2' = σ3' = σ 0 =                         .                                                 ными остаточными деформациями или появлением трещин, сви-
                                                  3                                                         детельствующих о начале разрушения. Нормальные напряжения
      После преобразований получим:                                                                         в поперечных сечениях стержней из пластичного материала в
                              1 − 2ν                                                                        момент наступления опасного состояния равны пределу текуче-
                       u об =        (σ1 + σ 2 + σ3 ) 2 ,                                        (4.31)
                                6Е                                                                          сти σS, а из хрупкого – пределу прочности на растяжение σut.
                                         1 − 2ν                                                                 Известно, что при расчете элементов конструкций должно
или                             u об =          (σ x + σ y + σ z ) 2 .                           (4.32)     быть выполнено условие прочности, требующее, чтобы наи-
                                           6Е                                                               большее напряжение в каждой точке не превышало величины
                                                                                                            расчетного сопротивления, составляющего некоторую долю
       a)                  б)       σ '2 = σ0                          в)
                                                                            σ   ''
                                                                                        σ 3'' = σ3 − σ0     опасного напряжения. Для назначения расчетного сопротивле-
            σ2                                                                  2
                   σ3                                σ = σ0
                                                      '
                                                      3                                                     ния необходимо изучить поведение материала при его деформи-
                                                                                                            ровании от начала нагружения до момента разрушения.
σ1                σ1                                           σ 1''
                                                                                                                Экспериментальное изучение поведения материалов под на-
                                                 σ 1' = σ0                                σ 1'' = σ1 − σ0   грузкой при линейном напряжении или сжатии на существую-
                  σ 1' = σ0
                                                                                                            щих лабораторных установках не встречает затруднений. Полу-
  σ3                                                      σ 3'' = σ3 − σ0
            σ2          σ 3' = σ0                                                                           ченные в результате экспериментов диаграммы растяжения или
                                     σ '2 = σ0                                       σ ''2 = σ 2 − σ0
                                                                                                            сжатия дают наглядное представление о сопротивлении мате-
                                Рис. 4.6                                                                    риала упругому и пластическому деформированию и позволяют
                                                                                                            определить такие важные для оценки прочности и назначения
    Для получения удельной потенциальной энергии изменения
                                                                                                            расчетных сопротивлений механические характеристики, как
формы, подставим в правую часть формулы (4.30) напряжения
                                                                                                            предел текучести или предел прочности.
(по рис. 4.6в) – σ1" = σ1 – σ0; σ2" = σ2 – σ0; σ3" = σ3 – σ0. В резуль-
                                                                                                                При сложном напряженном состоянии, характеризующемся
тате получим:
                                                                                                            в общем случае тремя различными главными напряжениями, на-
                        1+ ν 2                                                                              хождение опасных значений этих напряжений существенно ус-
                 uф =       (σ1 + σ 22 + σ32 − σ1σ 2 − σ 2 σ3 − σ1σ 3 ) .
                         3E                                                                                 ложняется. Как показывают опыты, опасное напряженное со-
    После элементарных преобразований последнее соотноше-                                                   стояние элемента конструкции (текучесть, разрушение) зависит
ние перепишется:                                                                                            от вида напряженного состояния, т.е. от соотношения между
                                                                                                            тремя главными напряжениями. Так как число различных воз-
                                                64                                                                                                 65