Составители:
Рубрика:
68
Условие прочности по 4-й теории прочности запишется в
следующем виде:
фф
u[u]
≤
или используя (4.33) для u
ф
222 2
ф 123121323
1 ν 1 ν
u(σσσσσσσσσ)R
3Е 3Е
++
=++−−−≤⋅ (4.39)
откуда, после преобразования, имеем:
R])σ(σ)σ(σ)σ[(σ
2
1
σ
2
31
2
32
2
21
IV
р
≤−+−+−= . (4.40)
Достоинством этой теории является то, что она учитывает
все три главные напряжения. Она, как и 3-я теория,
объясняет
высокую прочность материала при всестороннем равномерном
сжатии,
но не объясняет причины разрушения материала при
всестороннем равномерном растяжении.
ПРИМЕР 4.1
Даны напряжения на двух
взаимно перпендикулярных пло-
щадках в окрестности некоторой
точки (рис. 4.7).
Е = 2,06
5
10
⋅
МПа, ν = 0,28.
Требуется исследовать на-
пряженно-деформированное со-
стояние в данной точке.
1.
Поставить знаки заданных напряжений в соответствии с их
направлениями на рис. 4.7 согласно принятых правил знаков
для напряжений.
2.
Определить величины и направления главных напряжений,
изобразить главные площадки на рисунке и показать на них
главные напряжения
3.
Вычислить максимальные и минимальные касательные на-
пряжения, изобразить на рисунке площадки, на которых они
действуют и показать направления напряжений. Вычислить и
показать на чертеже действующие на этих площадках нор-
мальные напряжения.
90 МПа ( σ
у
)
50 МПа
( τ
ух
)
80 МПа
(
σ
х
)
(τ
ху)
Рис. 4.7
69
4. Определить нормальные и касательные напряжения на пло-
щадках, повернутых относительно заданных на угол
α = 30
o
,
показать эти площадки и напряжения на них. Определить
полное напряжение на этой площадке и относительную де-
формацию по направлению
σ
α
.
5.
Определить расчетные напряжения с использованием (1 ÷ 4)-й
теорий прочности и сравнить их между собой, проанализиро-
вать применимость теорий прочности для конкретного мате-
риала.
6.
Определить относительные деформации по направлениям
главных напряжений (главные деформации).
РЕШЕНИЕ
1. Постановка знаков заданных нормальных и касательных
напряжений:
σ
х
= 80 МПа, ("плюс" – растяжение),
σ
у
= –90 МПа ("минус" – сжатие),
τ
ух
= –50 МПа ("минус" – против хода часовой стрелки).
2. Вычисление главных напряжений.
max
min
σ
=
xy
22
1,2(3) x y yx
σ + σ
1
σ (σσ)4τ
22
=±⋅−+
=
22
80 90 1
(80 + 90) 4 ( 50)
22
−
=±⋅ +⋅−
= – 5
±
98,62.
Соблюдая условие σ
1
≥ σ
2
≥ σ
3
,
выпишем числовые значения
главных напряжений:
max
σ = σ
1
= –5 + 98,62 = 93,62 МПа,
min
σ = σ
3
= –5 – 98,62 = –103,62 МПа, σ
2
= 0 (по условию задачи).
Проверка:
ху13
σ
+σ =σ +σ =80 – 90 = 93,62 – 103,62 = –10 МПа.
Определяем угол наклона главных площадок к заданным:
ух
0
ху
2
2(50)
tg2 0,588
80 90
τ
⋅−
α=− =− =
σ−σ +
;
2α
0
= 30,5°; α
0
= 15,25°.
Угол положительный, поэтому заданные площадки должны
быть повернуты
против хода часовой стрелки и на полученных
главных площадках показываем главные напряжения.
Условие прочности по 4-й теории прочности запишется в 4. Определить нормальные и касательные напряжения на пло-
следующем виде: u ф ≤ [u ф ] или используя (4.33) для uф щадках, повернутых относительно заданных на угол α = 30 o ,
1+ ν 2 1+ ν 2 показать эти площадки и напряжения на них. Определить
uф = (σ1 + σ 22 + σ32 − σ1σ 2 − σ1σ3 − σ 2 σ3 ) ≤ ⋅ R (4.39) полное напряжение на этой площадке и относительную де-
3Е 3Е
откуда, после преобразования, имеем: формацию по направлению σα.
5. Определить расчетные напряжения с использованием (1 ÷ 4)-й
1 теорий прочности и сравнить их между собой, проанализиро-
р =
σ IV [(σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ1 − σ 3 ) 2 ] ≤ R . (4.40)
2 вать применимость теорий прочности для конкретного мате-
Достоинством этой теории является то, что она учитывает риала.
все три главные напряжения. Она, как и 3-я теория, объясняет 6. Определить относительные деформации по направлениям
высокую прочность материала при всестороннем равномерном главных напряжений (главные деформации).
сжатии, но не объясняет причины разрушения материала при
всестороннем равномерном растяжении. РЕШЕНИЕ
1. Постановка знаков заданных нормальных и касательных
ПРИМЕР 4.1 напряжений: σх = 80 МПа, ("плюс" – растяжение),
Даны напряжения на двух σу = –90 МПа ("минус" – сжатие),
90 МПа ( σу ) взаимно перпендикулярных пло- τух = –50 МПа ("минус" – против хода часовой стрелки).
(τху) щадках в окрестности некоторой 2. Вычисление главных напряжений.
50 МПа точки (рис. 4.7). σx + σy 1
( τух ) Е = 2,06 ⋅105 МПа, ν = 0,28. σ max = σ1,2(3) = ± ⋅ (σ x − σ y ) 2 + 4τ 2yx =
min 2 2
80 МПа 80 − 90 1
Требуется исследовать на- = ± ⋅ (80 + 90) 2 + 4 ⋅ (−50) 2 = – 5 ± 98,62.
( σх ) пряженно-деформированное со- 2 2
стояние в данной точке. Соблюдая условие σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, выпишем числовые значения
Рис. 4.7 главных напряжений:
σmax = σ1 = –5 + 98,62 = 93,62 МПа,
1. Поставить знаки заданных напряжений в соответствии с их σ min = σ3 = –5 – 98,62 = –103,62 МПа, σ2 = 0 (по условию задачи).
направлениями на рис. 4.7 согласно принятых правил знаков Проверка: σ х + σ у = σ1 + σ3 = 80 – 90 = 93,62 – 103,62 = –10 МПа.
для напряжений.
2. Определить величины и направления главных напряжений, Определяем угол наклона главных площадок к заданным:
изобразить главные площадки на рисунке и показать на них 2τ ух 2 ⋅ ( −50)
tg2α 0 = − =− = 0,588 ;
главные напряжения σх − σ у 80 + 90
3. Вычислить максимальные и минимальные касательные на-
2α0 = 30,5°; α0 = 15,25°.
пряжения, изобразить на рисунке площадки, на которых они
Угол положительный, поэтому заданные площадки должны
действуют и показать направления напряжений. Вычислить и
быть повернуты против хода часовой стрелки и на полученных
показать на чертеже действующие на этих площадках нор-
главных площадках показываем главные напряжения.
мальные напряжения.
68 69
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
