Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 32 стр.

менимы при напряжениях, не превышающих предел пропорцио-                                       Δ(dV)
нальности материала и при малых деформациях.                                              θ=         = ε1 + ε 2 + ε 3 .               (4.25)
                                                                                                dV
    С помощью формул (4.23) обобщенного закона Гука можно
                                                                      После подстановки в формулу (4.25) вместо ε1, ε2 и ε3 их вы-
определять относительные деформации по любому заданному
                                                                  ражений из (4.22), получим:
направлению, если предварительно определить нормальные на-
                                                                                               1 − 2ν
пряжения вдоль указанного направления и двух других направ-                               θ=          (σ1 + σ 2 + σ 3 ) .             (4.26)
лений, перпендикулярных заданному.                                                                Е
    Относительные деформации ε1, ε2, ε3 в направлениях, для ко-       В формулу (4.26) входит сумма главных напряжений. Вместо
торых отсутствуют углы сдвига, определяемые по формулам           нее можно подставить сумму (σх + σу + σz), так как они равны.
(4.22), называются главными деформациями.                                                      1 − 2ν
    Для главных направлений тензор деформаций получит вид:                                θ=          (σ x + σ y +σ z ) .             (4.27)
                                                                                                  Е
                              ⎛ ε1 0 0 ⎞                              Формулы (4.26) и (4.27) выражают объемный закон Гука.
                              ⎜        ⎟
                              ⎜ 0 ε2 0 ⎟ .                            Если в случае пространственного напряженного состояния
                              ⎜0 0 ε ⎟                            σ1 = σ2 = σ3 = σ > 0 (пространственное равномерное растяже-
                              ⎝       3⎠
                                                                  ние), то на основании формулы (4.26) относительное изменение
                                                                  объема равно:
           4.5. Понятие об объемной деформации.                                                      1 − 2ν
            Потенциальная энергия деформации                                                     θ=            ⋅ 3σ .       (4.28)
                                                                                                        Е
    Из формул (4.22) и (4.23) видно, что относительная дефор-         В соответствии с законом сохранения энергии потенциаль-
мация имеет место во всех направлениях не только в случае объ-    ная энергия деформации элементарного параллелепипеда равна
емного напряженного состояния, но и линейного, и плоского.        работе внешних сил, приложенных к его граням. При вычисле-
Например, если главное напряжение σ2 равно нулю, то деформа-      нии этой работы будем предполагать, что все внешние силы од-
ция в направлении нормали по площадке с нулевым напряжени-        новременно постепенно нарастают от нуля до своего конечного
ем будет равна:                                                   значения, т.е. что эти силы действуют статически.
                                                                      Полная удельная потенциальная энергия деформации опре-
                           1
                      ε 2 = [ −ν(σ1 + σ 3 )] .           (4.24)   делится по формуле:
                           Е                                                                 σ ⋅ ε + σ 2 ⋅ ε 2 + σ3 ⋅ ε 3
    Под действием внешней нагрузки упругое тело деформиру-                                u= 1 1                          . (4.29)
ется, его объем изменяется и в нем накапливается потенциальная                                           2
энергия. В процессе разгружения тела потенциальная энергия            Заменим в этой формуле относительные деформации их вы-
проявляется в виде работы, совершаемой внутренними силами.        ражениями через обобщенный закон Гука из (4.22):
Для определения изменения объема тела и количества накоп-                          1 2
                                                                             u=      [σ1 + σ 22 + σ32 − 2ν(σ1σ 2 + σ1σ3 + σ 2 σ 3 )] . (4.30)
ленной им потенциальной энергии необходимо знать изменение                        2E
объема и количества энергии в каждой частице тела. Приведем          Удельная потенциальная энергия выражается в Дж/м3 или
соответствующие формулы без подробного вывода.                    Н·м/м3.
    Относительное изменение объема определится по формуле:           Объемное напряженное состояние можно расчленить на два
                                                                  напряженных состояния. В одном из них объем параллелепипеда
                              62                                                                     63