Составители:
Рубрика:
90
01 1 C
y y y 29,45 12,16 17,29 см;=− = − =
02 2 C
yyy1612,163,84 см;=−=− =
03 3 C
yyy012,1612,16 см.=−=− =−
7. Определяем осевые моменты инерции сложной фигуры
относительно центральных осей Z и Y по формулам (5.9):
222
Z z1 1 01 z2 2 02 z3 3 03
22
24
I(IAy)(I Ay)(I Ay)
(113 17,29 23,4) (7080 3,84 46,5) (16
( 12,16) 48) 7108 7766 7114 21988 см ;
=+⋅ ++⋅ ++⋅ =
=+ ⋅ + + ⋅ ++
+− ⋅ = + + =
222
Yy1101 У2202 y3303
4
I(IAz)(I Az)(I Az)
(1520 0) (337 0) (2304 0)
1520 337 2304 4161 см .
=+⋅ − +⋅ ++⋅ =
=+−+++=
=++=
Центробежный момент инерции
,0I
ZУ
=
так как ось Y яв-
ляется осью симметрии. Поэтому оси Z и Y являются главными
центральными осями.
4
max Z
I I 21987 см ;==
4
min Y
I I 4161 см .==
5.4. Главные центральные моменты инерции
сложных сечений произвольной формы
При отсутствии у заданного сечения оси симметрии задача
решается в следующей порядке последовательности:
1. Сечение разбиваем на простые фигуры и проводим их
вертикальные и горизонтальные центральные оси.
2. Проводим произвольные оси Z' и Y', параллельные цен-
тральным осям простых фигур.
3. Определяем координаты центра тяжести заданного сече-
ния z
С
и y
С
относительно осей Z' и Y' по формулам (5.3).
4. Откладываем расстояния z
С
и y
С
с учетом знаков от осей
Z' и Y' и проводим центральные оси всего сечения Z и Y, парал-
лельные осям Z' и Y'.
5. Определяем осевые и центробежные моменты инерции
всего сечения относительно осей Z и Y по формулам (5.9).
91
6. Определяем величины главных центральных (экстре-
мальных) моментов инерции всего сечения по формуле:
ZY
22
ZY
U, V Z Y
II
1
I(II)4I.
22
+
=±−+⋅ (5.21)
7. Определяем положение главных центральных осей:
ZY
0
ZY
2I
tg2 ,
II
⋅
α=−
−
(5.22)
где
0
α
– угол, на который нужно повернуть оси Z и Y, чтобы
они стали главными.
Угол
0
α
нужно отложить против хода часовой стрелки, ес-
ли он имеет знак "плюс" и по ходу часовой стрелки – если знак
"минус".
ПРИМЕР 5.4
Требуется
определить величины главных центральных мо-
ментов инерции и положение главных центральных осей инер-
ции для сечения, изображенного на рис. 5.13.
РЕШЕНИЕ
1. Разбиваем сложное сечение на простые фигуры: 1 (тре-
угольник), 2 (прямоугольник), 3 (полукруг).
2. Изобразим вертикальные и горизонтальные центральные
оси для этих фигур.
3. Определяем площади и моменты инерции простых фигур
относительно их центральных
осей (собственные моменты
инерции):
2
1
63
A9 см ;
2
⋅
==
2
2
A14570 см ;=⋅=
22
2
3
r4
A25,1 см .
22
π⋅ π⋅
===
3
4
Z1
63
I4,5 см ;
36
⋅
==
3
4
Y1
36
I18 см ;
36
⋅
==
3
4
Z2
14 5
I 146 см ;
12
⋅
==
3
4
Y2
514
I1150 см ;
12
⋅
==
44 4
Z3
I0,11r0,11428,2 см ;=⋅=⋅=
44
4
Y3
r4
I102 см ;
88
π⋅ π⋅
===
y01 = y1 − yC = 29, 45 − 12,16 = 17, 29 см; 6. Определяем величины главных центральных (экстре-
y02 = y 2 − yC = 16 − 12,16 = 3,84 см; мальных) моментов инерции всего сечения по формуле:
I +I 1
y03 = y3 − y C = 0 − 12,16 = −12,16 см. I U, V = Z Y ± (I Z − I Y ) 2 + 4 ⋅ I 2ZY . (5.21)
2 2
7. Определяем осевые моменты инерции сложной фигуры
7. Определяем положение главных центральных осей:
относительно центральных осей Z и Y по формулам (5.9):
2 ⋅ I ZY
I Z = (I z1 + A1 ⋅ y 012 ) + (I z 2 + A 2 ⋅ y 02 2 ) + (I z3 + A 3 ⋅ y 032 ) = tg2α 0 = − , (5.22)
I Z − IY
= (113 + 17, 292 ⋅ 23, 4) + (7080 + 3,842 ⋅ 46,5) + (16 +
где α 0 – угол, на который нужно повернуть оси Z и Y, чтобы
+ (−12,16) 2 ⋅ 48) = 7108 + 7766 + 7114 = 21988 см 4 ;
они стали главными.
I Y = (I y1 + A1 ⋅ z 012 ) − (I У 2 + A 2 ⋅ z 02 2 ) + (I y3 + A 3 ⋅ z 032 ) = Угол α 0 нужно отложить против хода часовой стрелки, ес-
= (1520 + 0) − (337 + 0) + (2304 + 0) = ли он имеет знак "плюс" и по ходу часовой стрелки – если знак
= 1520 + 337 + 2304 = 4161 см 4 . "минус".
Центробежный момент инерции I ZУ = 0, так как ось Y яв- ПРИМЕР 5.4
ляется осью симметрии. Поэтому оси Z и Y являются главными Требуется определить величины главных центральных мо-
центральными осями. ментов инерции и положение главных центральных осей инер-
I max = I Z = 21987 см 4 ; ции для сечения, изображенного на рис. 5.13.
I min = I Y = 4161 см 4 .
РЕШЕНИЕ
1. Разбиваем сложное сечение на простые фигуры: 1 (тре-
5.4. Главные центральные моменты инерции угольник), 2 (прямоугольник), 3 (полукруг).
сложных сечений произвольной формы 2. Изобразим вертикальные и горизонтальные центральные
оси для этих фигур.
При отсутствии у заданного сечения оси симметрии задача 3. Определяем площади и моменты инерции простых фигур
решается в следующей порядке последовательности: относительно их центральных осей (собственные моменты
1. Сечение разбиваем на простые фигуры и проводим их инерции):
вертикальные и горизонтальные центральные оси.
6⋅3
2. Проводим произвольные оси Z' и Y', параллельные цен- A1 = = 9 см 2 ; A 2 = 14 ⋅ 5 = 70 см 2 ;
тральным осям простых фигур. 2
3. Определяем координаты центра тяжести заданного сече- π ⋅ r 2 π ⋅ 42 6 ⋅ 33
A3 = = = 25,1 см 2 . I Z1 = = 4,5 см 4 ;
ния zС и yС относительно осей Z' и Y' по формулам (5.3). 2 2 36
4. Откладываем расстояния zС и yС с учетом знаков от осей 3 ⋅ 63 14 ⋅ 53 5 ⋅ 143
Z' и Y' и проводим центральные оси всего сечения Z и Y, парал- I Y1 = = 18 см 4 ; I Z2 = = 146 см 4 ; I Y2 = = 1150 см 4 ;
36 12 12
лельные осям Z' и Y'.
π ⋅ r 4 π ⋅ 44
5. Определяем осевые и центробежные моменты инерции I Z3 = 0,11 ⋅ r 4 = 0,11 ⋅ 44 = 28, 2 см 4 ; I Y3 = = = 102 см 4 ;
всего сечения относительно осей Z и Y по формулам (5.9). 8 8
90 91
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
