Составители:
Рубрика:
132
РЕШЕНИЕ
А. Построение эпюр М и Q
1. В пределах грузовых участков 1, 2, 3 (рис. 7.7а) проводим
сечения на расстоянии x
i
от начала каждого участка. При этом
рассматриваем правую, свободную от опоры, часть балки, а ле-
вую отбрасываем.
Заменяя действие отброшенной части неизвестными
положительными поперечной силой Q
i
(x
i
) и изгибающим мо-
ментом М
i
(x
i
) и рассматривая равновесие выделенной части бал-
ки, находим выражения внутренних усилий на участках.
При построении эпюр М и Q и их проверке используем
дифференциальные зависимости Д.И. Журавского между М, Q и
q:
dM(x)
Q(x);
dx
=
dQ(x)
q(x);
dx
=−
2
2
dM(x)
q(x).
dx
=− (7.17)
В зависимостях (7.11) перед q ставится знак "минус", если
распределенная нагрузка направлена вниз.
1-й грузовой участок
(рис. 7.8)
1
0x 2 м.
≤
≤
Составим уравнения
равновесия для 1-го участка.
1
Y
∑
= 0; Q
1
(x
1
) – qx
1
+ F = 0;
11 1 1
Q(x) F qx 20 15x.
=
−+ =− +
Так как Q
1
(x
1
) – линейная
функция, то для построения эпюры Q на этом участке достаточ-
но рассмотреть два сечения:
х
1
= 0 м, Q
1
(0) = – 20 кН;
х
1
= 2,0 м, Q
1
(2) = 10 кН.
Строим эпюру Q из которой видно (см. рис. 7.7е), что на
первом участке эпюра поперечных сил имеет нулевую ординату.
В соответствии с дифференциальной зависимостью (7.17) между
М и Q (
dM(x)
Q(x)
dx
= ) эпюра изгибающих моментов на этом
участке будет иметь экстремум.
Приравнивая Q
1
(х
1
) к нулю при х
1
= х
0
, получим:
Х
1
F = 20 кН
х
1
Y
1
Q
1
(х
1
)
M
1
(х
1
)
q=15 кН/м
0
1
•
K
Рис. 7.8
133
10 0
Q (x ) 20 15x 0;
=
−+ =
0
20
x1,33 м.
15
==
К
m0;
=
∑
–М
1
(х
1
) – q
2
1
х
2
+ F
⋅x
1
= 0;
22
11
11 1 1
qx 15x
M(x) Fx 20x .
22
=− = −
Функция М
1
(х
1
) – квадратичная, поэтому для построения
графика этой функции на данном участке (эпюры М), находим
не менее трех значений изгибающего момента:
х
1
= 0 м, М
1
(0) = 0 кН⋅м;
х
1
= х
1
= 1,33 м, М
1
(х
0
) = M
extr
= 13,3 кН⋅м;
х
1
= 2,0 м, М
1
(2) = 10 кН⋅м.
По найденным значениям строим эпюру М на первом уча-
стке под эпюрой поперечных сил. Изгибающие моменты откла-
дываем со стороны растянутых волокон, т.е. "плюс" – вниз (рас-
тягиваются нижние волокна), "минус" – вверх (растягиваются
верхние волокна) см. (рис. 7.7е, ж).
Аналогично построим эпюры на 2-м и 3-м грузовых участках:
2-й
участок (рис. 7.9):
2
0x 1,5 м.
≤
≤
F=20 кН
2 м
Y
2
Q
2
(х
2
)
Х
2
M
2
(x
2
)
q=15 кН/м
О
2
х
2
•
К
Рис. 7.9
Y
∑
= 0; Q
2
(x) – q
⋅
2 + F = 0;
2
Q(x) F q2 20 152 10кН.
=
−+⋅=− + ⋅=
Эпюра Q постоянна по длине данного участка.
К
m0;
=
∑
– М
2
(х
2
) – q
⋅
2 (х
2
+
2
2
) + F
⋅
(x
2
+ 2) = 0;
22 2 2 2 2
M (x ) F(2 x ) q 2(1 x ) 20(2 x ) 30(1 x ).
=
+−⋅+= +− +
Изгибающий момент на данном участке изменяется по ли-
нейному закону:
20
РЕШЕНИЕ Q1 (x 0 ) = −20 + 15x 0 = 0; x0 = = 1,33 м.
15
А. Построение эпюр М и Q х12
1. В пределах грузовых участков 1, 2, 3 (рис. 7.7а) проводим ∑ mК = 0; –М1(х1) – q 2
+ F⋅x1 = 0;
сечения на расстоянии xi от начала каждого участка. При этом
рассматриваем правую, свободную от опоры, часть балки, а ле- qx 2 15x12
M1 (x1 ) = Fx1 − 1 = 20x1 − .
вую отбрасываем. 2 2
Заменяя действие отброшенной части неизвестными Функция М1(х1) – квадратичная, поэтому для построения
положительными поперечной силой Qi(xi) и изгибающим мо- графика этой функции на данном участке (эпюры М), находим
ментом Мi(xi) и рассматривая равновесие выделенной части бал- не менее трех значений изгибающего момента:
ки, находим выражения внутренних усилий на участках. х1 = 0 м, М1(0) = 0 кН⋅м;
При построении эпюр М и Q и их проверке используем х1 = х1 = 1,33 м, М1(х0) = Mextr = 13,3 кН⋅м;
дифференциальные зависимости Д.И. Журавского между М, Q и х1 = 2,0 м, М1(2) = 10 кН⋅м.
q: По найденным значениям строим эпюру М на первом уча-
dM(x) dQ(x) d 2 M(x) стке под эпюрой поперечных сил. Изгибающие моменты откла-
= Q(x); = −q(x); = −q(x). (7.17)
dx dx dx 2 дываем со стороны растянутых волокон, т.е. "плюс" – вниз (рас-
В зависимостях (7.11) перед q ставится знак "минус", если тягиваются нижние волокна), "минус" – вверх (растягиваются
распределенная нагрузка направлена вниз. верхние волокна) см. (рис. 7.7е, ж).
1-й грузовой участок Аналогично построим эпюры на 2-м и 3-м грузовых участках:
Q1(х1) M1(х1) Y1 (рис. 7.8) 0 ≤ x1 ≤ 2 м. 2-й участок (рис. 7.9): 0 ≤ x 2 ≤ 1,5 м.
q=15 кН/м
Составим уравнения Q2(х2) Y2
Х1 • M2(x2)
01 равновесия для 1-го участка.
K q=15 кН/м
х1 F = 20 кН ∑ Y1 = 0; Q1(x1) – qx1 + F = 0; К
Х2 •
Q1 (x1 ) = − F + qx1 = −20 + 15x1 . О2
F=20 кН
Рис. 7.8 х2 2м
Так как Q1(x1) – линейная
функция, то для построения эпюры Q на этом участке достаточ-
Рис. 7.9
но рассмотреть два сечения:
х1 = 0 м,
х1 = 2,0 м,
Q1(0) = – 20 кН;
Q1(2) = 10 кН.
∑ Y = 0; Q2(x) – q ⋅ 2 + F = 0;
Строим эпюру Q из которой видно (см. рис. 7.7е), что на Q 2 (x) = −F + q ⋅ 2 = −20 + 15 ⋅ 2 = 10 кН.
первом участке эпюра поперечных сил имеет нулевую ординату. Эпюра Q постоянна по длине данного участка.
В соответствии с дифференциальной зависимостью (7.17) между 2
dM(x)
∑ mК = 0; – М2 (х2) – q ⋅ 2 (х2 + 2 ) + F ⋅ (x2 + 2) = 0;
М и Q ( = Q(x) ) эпюра изгибающих моментов на этом
dx M 2 (x 2 ) = F(2 + x 2 ) − q ⋅ 2(1 + x 2 ) = 20(2 + x 2 ) − 30(1 + x 2 ).
участке будет иметь экстремум. Изгибающий момент на данном участке изменяется по ли-
Приравнивая Q1(х1) к нулю при х1 = х0, получим: нейному закону:
132 133
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
