Научные исследования в технологии машиностроения. Ванин В.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

25
ряющих начальным условиям. При этом коэффициенты α
i
должны
быть выбраны так, чтобы функционал J достигал экстремума, т.e.
α
1
, α
2
, …, α
n
должны быть определены из системы уравнений
,0=
α∂
ϕ
∂
i
(
)
ni ,...,2,1=
, где
(
)
n,...,,
21
ααϕ=ϕ
– функция, в которую превраща-
ется функционал J на линейных комбинациях (4.19). При n→∞ в случае
существования предела функции получается точное, а при ограничен-
ном п – приближённое решение.
Задача определения экстремума функций значительно усложняет-
ся, если величина, экстремальное значение которой требуется опреде-
лить, выражается через функционал. Для решения такого рода задач
применяются: метод вариационного исчисления, принцип максимума и
метод динамического программирования.
Основной задачей вариационного исчисления является нахождение
экстремума функционала (4.18). Предполагается, что функция F явля-
ется однозначной и непрерывной вместе со своими частными произ-
водными до третьего порядка включительно при всех значениях х и у в
некоторой области R плоскости и при всех конечных значениях
0
, yyy =
′
при f(x) = f(x
0
); y = y
1
, при f(x) = f(x
1
). Решить задачу можно,
применив уравнение Эйлера
0=
′
∂
∂
−
∂
∂
y
F
dx
d
y
F
или 0
22
2
2
=
∂
∂
−
′
∂∂
∂
+
′
′
∂∂
∂
+
′′
′
∂
∂
y
F
yx
F
y
yy
F
y
y
F
. (4.20)
В общем случае, если функция F(х, у, у′) действительно содержит y′,
то уравнение Эйлера (4.20) является уравнением второго порядка и его
общий интеграл f
1
(х, С
1
, С
2
) содержит две произвольные постоянные
С
1
и С
2
, определяемые из условий, что кривая проходит через заданные
точки (х
0
, y
0
) и (х
1
, y
1
).
Для определения характера экстремума служит условие Лежандра,
согласно которому при
0≥
′
yy
F
имеет место минимум, а при
0≤
′
yy
F
–
максимум. В литературе [1] приведены решения отыскания экстремума
интеграла от функционала, когда функционал зависит от нескольких
переменных и первых производных от них по времени или функции,
доставляющие экстремум функционалу, сами подчинены дополнитель-
ным условиям, т.е. имеет место условный экстремум.
Метод динамического программирования применяется для реше-
ния задач оптимального управления системами, поведение которых
описывается при помощи дифференциальных уравнений. Особенность
метода состоит в том, что для отыскания оптимального управления
исследуемая операция разбивается на ряд последовательных шагов.
При этом функционал, характеризующий качество работы динамиче-
ской системы, выражается суммой функционалов на каждом шаге

Страницы