Расчет динамических характеристик металлорежущих станков. Ванин В.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0)det(
2
=− IkK
. (93)
Это частотное уравнение имеет следующую структуру:
0
...000
...............
0...0
0...
0...0
2
1,1
31342323
23
2
21231212
12
2
12
=
−
−+−
−−+−
−−
−
kIk
kIkkk
kkIkkk
kIkk
nnn
(94)
Аналогичное частотное уравнение для системы с закрепленным концом имеет вид:
0
...00
............
0...
0...
2
1,1
2
31342323
23
2
212312
=
−
−+−
−++
−
kIk
kIkkk
kkIkk
nnn
. (95)
Уравнение (94) всегда имеет корень
0
2
1
=k
, соответствующий вращению системы как жесткого механизма.
Остальные корни
2
S
k
являются положительными числами и, следовательно, цепная система имеет n-1 ненулевых
собственных частот. Для цепных неразветвленных систем все корни являются различными. Пронумеруем их в порядке
возрастания
22
3
2
2
2
1
...
n
kkkk <<<
.
Для каждого
2
S
K
уравнение (91) имеет бесчисленное множество решений, так как оно представляет собой систему
линейных однородных алгебраических уравнений, с определителем равным нулю. Эти решения представим в форме
sn
S
S
A
A
lA
...
1
2
=
, (96)
где l – произвольный скалярный множитель. Положив A
S1
= 1 из (87) можно однозначно определить все остальные
компоненты векторов A
S
, которые и называются собственными формами колебаний системы. Вектор А
1
соответствующий
частоте k
1
= 0 состоит из единиц и соответствует вращению системы как жесткого механизма.
Примечание: аналогично для каждого значения
0
S
k
системы с закрепленным концом можно однозначно определить все
компоненты векторов
0
S
A
собственных форм. Собственные частоты всегда удовлетворяют условиям
nn
kkkkkk <<<<<<
02
11
0
10
...
. (97)
Любые две собственные формы A
S
и А
т
ортогональны в метриках I и K. Действительно, так как А
S
и А
т
являются
решениями уравнения (94), должны выполняться равенства:
SSS
IAkKA
2
=
,
mmm
IAkKA
2
=
.
Умножим скалярно первое равенство на А
m
,а второе на A
S
и вычтем из первого второе. Получим
S
T
mmm
T
SSS
T
mm
T
S
AIAkAIAkAkAAKA )()()()(
22
−=−
, (98)
но K и I – симметричные матрицы, поэтому
S
T
mm
T
S
AkAAKA )()( =
и
S
T
mm
T
S
AIAAIA )()( =
.
Учитывая это, получим из (94)
0))((
22
=−
m
T
SmS
AIAkk
.
Но k
S
≠ k
m
, следовательно, (IA
S
)
T
A
m
= 0.
Тогда из соотношения
m
T
SSm
T
S
AIAkAkA )()(
2
=
.
cледует, что
0)( =
m
T
S
AkA
. Аналогично можно доказать, что собственные формы
0
S
A
и
0
m
A
ортогональны в метриках K° и I°.
Векторы собственных форм являются линейно независимыми, т.е. равенство
0...
2211
=
α
+
+
α
+
α
nn
AAA
возможно лишь при α
1
= α
2
=...= α
n
= 0.
Линейно независимыми являются и формы
0
S
A
. Это следует из того, что

Страницы