Расчет динамических характеристик металлорежущих станков. Ванин В.А - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Тогда скалярные аналоги соотношения (106) имеют вид
.)()(
,)()(
1
2
221
2
211
1
2
121
2
11
−−+
−−+
µ⋅α+⋅α=µ
µ⋅α+⋅α=
kak
kaka
n
n
(105)
Так как оба конца системы привода свободны, то 0
1
=
µ
=
µ
+− n
, но 0
1
≠
−
a , поэтому из второго уравнения следует, что
0)(
2
21
=α k
. (106)
Примечание: уравнение (106) является частотным уравнением системы со свободными концами. Для системы с закрепленным
концом уравнение, связывающее амплитуды углов и моментов на концах, принимает форму
++−+
==
1
20
112,1
2
)(
~
~
...
~
)( rkArAAkIr
enenInn
. (107)
Рис. 26. Определение собственных частот колебаний системы с
закрепленным концом
Сравнивая (103) с (100), получаем
)(
~
)(
~
)(
~
22
1
20
kAkAkA
I
=
из условия 0,0
11
≠=
++
Ha получим частотное уравнение
0)(
20
22
=α k . (108)
При практическом применении метода матриц переноса в матрицы
3
~
A
подставляют пробные значения k
2
или (k
0
)
2
,
матрицы перемножают и вычисляют значения
21
α или
0
22
α
. Перемена знака
21
α
при переходе от
2
*
k
к
2
**
k
, или знака
0
22
α
при переходе от
20
*
)(k
к
20
**
)(k
означает, что в соответствующем интервале имеется по крайней мере одна собственная
частота. Добавочными пробами уточняются значения k или k°, при которых
21
α
или
0
22
α обращаются в нуль.
После определения собственной частоты
2
S
k
можно определить собственную форму A
S
. Дня этого в системе со
свободными концами задаемся вектором r
1-
= (1,0)
т
(учитывая, что 1,0
111
=
=
=
−− S
AaM ), а затем, последовательно умножая
его слева на матрицы
1I
A
,
11e
A и т. д, находим векторы
−m
r и
+m
r . Первые компоненты этих векторов определяют
коэффициенты A
Sm
. В системе с закрепленным концом принимаем
T
kr ),0(
121
=
+
. Умножая этот вектор на
12
~
e
A
, получаем
T
kkker ),1(),,(
121212121
==
−
; при этом значение коэффициента формы на первой массе
0
1S
A оказывается равным 1, что
соответствует принятой выше договоренности. Остальные элементы
0
S
A
находим, последовательно умножая
−1
r на
последующие матрицы переноса.
После определения собственных частот, собственные формы могут быть найдены и без использования матриц
переноса. Раскрывая векторное уравнение (84) при k = k
S
, получаем систему скалярных уравнений:
,0)(
2121
2
112
=−−
SSS
AkAkJk
0)(
1,1,
2
311,,11,,1
=−−++−
+++−−− mSmmSmmmmmmmSmm
AkAkJkkAk .
Приняв 1
1
=
S
A , можно из этих уравнений определить остальные элементы S-й собственной формы
;)( ;1
1
12
2
11221
−
−== kkIkAA
SSS
],)[(
1,,1
2
11,,1
1
1,1, −−+−
−
−+
−−+=
mSmmSmSmmmmmmmmS
AkAkIkkkA
)1...,,2,1( −
=
nm . (109)
Аналогично можно найти элементы собственной формы
0
S
A
:
1
23
20
212312
0
2
0
1
])([ ;1
−
⋅⋅−++== kkIkkAA
SSS
;
},])({[
0
1,,1
020
11,,1
1
1,1,
−−+−
−
++
−−+=
mSmmSmSmmmmmmmmS
AkAkIkkkA
)1...,,3,2( −
=
nm . (110)
Примечание: для приближенного определения собственных частот можно использовать метод Релея. Метод Релея основан на
использовании формул (95), (96). При их применении задаются приближенными собственными формами. При этом оказывается, что даже
грубое приближение при выборе собственной формы дает достаточно точные значения собственных частот. Приближенные формы
колебаний выбирают, используя свойства, рассмотренные ранее, прежде всего – правило числа перемен знака. Применим метод Релея к
системе, изображенной на рис. 27.

Страницы