Расчет динамических характеристик металлорежущих станков. Ванин В.А - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Поскольку
1
0
≠τ
ml
k
, эти колебания не будут носить резонансного характера. Резонансные колебания могут возникнуть,
если частота
0
l
k
имеет кинематическое возмущение, т.е. если в приводе возникают гармонические колебания ротора, при
которых
tka
l
0
0
cos=ϕ
&&
. В этом случае
nrtkaAqt
lllcrlr
...,,2,1),2/cos()2()(
0100
=π−ςγ=ψ
−
. (142)
При этом форма резонансных колебаний на l-й собственной частоте совпадает с l-й собственной формой
0
l
A
.
Представление резонансных колебаний в виде (137), (142) возможно при слабой диссипации в приводе.
С увеличением диссипации может возрастать роль слагаемых, отброшенных в выражениях для частотных
характеристик. При этом более существенными оказываются слагаемые, соответствующие низшим собственным формам.
Поэтому, например, при анализе резонансных колебаний на второй собственной частоте приходится сохранять слагаемое,
соответствующее первой форме.
3.6. ОБ УЧЕТЕ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ
Влияние диссипативных сил на колебательные процессы определяется величиной энергии, рассеиваемой этими силами
за цикл. Поэтому нелинейные силы можно заменить силами линейно зависящими от скорости деформации и вызывающими
такое же рассеяние энергии, как и нелинейные силы используя метод эквивалентной линеаризации. Так как диссипативные
силы оказывают существенное влияние только на резонансные процессы, то эквивалентную линеаризацию естественно
производить именно для этих колебательных процессов. Поскольку в каждом из резонансных процессов колебания,
возникающие в приводе, оказываются близкими к гармоническим колебаниям соответствующей частоты, эквивалентная
линеаризация сводится к гармонической. При резонансе на частоте
)(
0
ll
kk
существенное влияние на развитие колебаний
оказывает только один безразмерный коэффициент
)(
0
ll
ςς
. Отсюда следует, что каждый из безразмерных коэффициентом
диссипации должен получаться эквивалентным гармонической линеаризации нелинейных диссипативных сил на колебаниях
по l-й собственной форме.
Определим энергию, рассеиваемую за один период колебаний в линейной цепной механической системе привода со
свободными концами, совершающей резонансные колебания с частотой
l
k . В соответствии с (137) имеем
tkaAtkaA
lllrlllrr
sin)2/(cod =
π
−
≈
ϕ
, (143)
где
0
1
)2(
Slllsl
UAa
−
ςγ=
– амплитуда колебаний на нулевой массе, поскольку 1
1
=
l
A . Из (143) находим законы изменения
моментов диссипативных сил. Момент в упругом элементе, соединяющем r – 1-ю и r-ю массы
tkAAakccM
llrrllrrrrrr
rr
cos)()(
1,,11,1
)(
,1
−=ϕ−ϕ=
−−−−
∂
−
&&
.
Работа этого момента за цикл колебаний
∫
π
−−−−−
θ=θΦ=
kl
rrrrrrrrrr
dtMdMW
/2
0
,1,1,1,1,1
&
,
где
rrrr
ϕ−ϕ=θ
−−
&&
&
1,1
– скорость деформации упругого элемента.
Производя интегрирование, найдем:
.)(cos)(
2
1,
,1
2
/2
0
22
1,
22
,1,1 lr
rl
rrll
kl
llrrlllrrrr
AAcakdttkAAakCW −π=−=
−
−
π
−−−
∫
Складывая потери энергии во всех элементах, получаем
22
)(
llll
T
llll
akAcAQkW πβ=π=
. (144)
Из (121) получаем, что
llll
k γς=β
−1
2
. Подставляя это выражение в (144), окончательно найдем
2
2
llll
aW γπς=
. (145)
Это выражение удобно связать с потенциальной энергией упругой деформации. Потенциальная энергия отдельного
упругого элемента определяется, как известно, выражением
2/П
2
kQ=
, где k – жесткость элемента;
θ
– его деформация.
При заданных углах поворота
r
ϕ
масс, образующих цепную систему привода
∑
=
−−
ϕϕ=ϕ−ϕ=
n
r
T
rrrr
Kk
1
2
1,1
)(5,0)(5,0П
.
Пусть система привода совершает резонансные колебания с частотой k
l
. Тогда в силу (144) tkAa
lll
sin
=
ϕ
и
следовательно
tkQAKAtkQ
llll
m
llll
2222
sin5,0)(sin5,0П γ=≈
.
Отсюда видно, что максимальное значение потенциальной, энергии в процессе деформации равно
2
5,0
ll
aγ
. Сравнивая с
(145), находим:

Страницы