Расчет динамических характеристик металлорежущих станков. Ванин В.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

точки А и В (точки А и С на рис. 33 могут соединяться двумя разными путями АДС и AЕС, поэтому приводимый метод
непригоден для определения оператора )( pe
AC
. Исследуемую систему привода можно рассматривать как "ствол" АВ,
составленный из k последовательно соединенных упруго-диссипативных элементов, в узлах которого А, 1...k – 1
присоединяются механические системы 1, 2, …, k, обведенные на рис. 33 линиями системы, к которым относятся и массы,
непосредственно расположенные в узлах, будем называть ответвлениями. Выделим s-е ответвление как подсистему и дадим
точке прикрепления его к стволу перемещение )(t
S
ϕ
; для этого потребуется приложить к этой точке момент M
S
(t).
Передаточная функция d
S
(P), связывающая M
S
(t) с )(t
S
ϕ
называется оператором динамической жесткости s-го ответвления.
В общем случае d
S
(Р) – дробно-рациональная функция, обратная оператору динамической податливости
)(
)(
)()(
1
PR
PQ
PePd
s
s
sss
==
−
, (155)
где Qs(Р) и R
S
(Р) – полиномы. Если ответвление представляет собой простую цепную систему, то оператор е
SS
(Р) можно
определить методами, рассмотренными ранее, принимая массу, расположенную в узле, за первую. В общем случае для
определения d
S
(P) используются другие методы (например, метод динамических жесткостей [7]). Составим в операторной
форме уравнения динамического равновесия узлов 1, 2, ..., k ствола АВ. Если )(t
S
ϕ
– перемещение (угол поворота) массы,
расположенной в S-м узле, то момент M
S
= d
S
(P)ϕ
S
должен уравновешиваться моментами упругих и диссипативных сил,
возникающих в элементах, примыкающих к узлу, а также внешним моментам M
SB
, приложенным в этом узле. Отсюда
получаем:
SBSSSSSSsSSS
MPUPUPd
=
ϕ
−
ϕ
+
ϕ
−
ϕ
+ϕ
++−+
))(())(()(
11,1,1
,
ns ...,,2,1
=
, (156)
где
PckU
SSsSs ,1,1,1 −−−ρ
+
+
,
0
1
1
=
+kk
U
.
Выражение можно записать в форме одного векторно-матричного уравнения:
B
MPD
=
ϕ
)(
где
k
T
ϕϕϕ=ϕ ,...,,
21
;
kBBB
T
B
MMMM ...,
21
= .
Оператор е
АВ
(р) связывает угол поворота k-го узла системы с моментом, приложенным в первом узле. Для его
определения нужно найти отношения алгебраического дополнения D
1k
(P) элемента первой строки и k-го столбца
определителя det D(P) к этому определителю. Рассмотрим выражение для D
1k
(P)
kk
k
k
U
UUdU
UUUdU
pD
,1
3423323
231312211
1
...000
0...0
0...
)1()(
−
−
+−
−++−
−=
Можно заметить, что в этом определителе все элементы, лежащие ниже главной диагонали, – нули, поэтому он равен
произведению диагональных элементов, умноженному на (–1)
k
:
∏∏
=
−
=
−
=−−=
k
m
mm
k
m
mm
kk
k
pUpUpD
1
,1
1
11
)()()1()1()(
.
В определителе detD(F) операторы (Р) представим в виде (156):
kkkk
URQ
UURQU
UUURQU
UURQ
pD
,1
1
3423
1
2223
232312
1
2212
1212
1
11
...000
...............
0...0
0...
0...0
)(det
−
−
−
−
−
+
++−
−++−
−+
=
Умножив этот определитель на произведение R
1
(P) R
2
(P)…R
k
(P) получим полином, совпадающий с характеристическим
определителем ∆(Р) всей системы. Таким образом,
∏
=
∆=
k
m
m
pRpp
1
)(/)()(Дdet
следовательно:
)(
)()(
)(Дdet
)(
)(
1
,1
11
p
pUpR
p
pD
pe
k
m
mm
k
m
m
k
AB
∆
==
∏∏
=
−
=
.
Можно показать, что полиномы R
m
(P) являются, в свою очередь, характеристическими полиномами ответвлений,
рассматриваемых как парциальные системы, получающиеся при закреплении всех узлов ствола АВ.
3.8. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИВОДА

Страницы