Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10
Теперь вероятность попадания системы CB в произвольную плоскую
область
G
может быть найдена по формуле
()()()
∫∫
=∈
G
dxdxxxwGXXP
212121
,,.(1.20)
Геометрически эта вероятность определяется объемом
вертикального цилиндра, построенного на области
G
как на основании и
ограниченного сверху поверхностью
()
21
,
xxww
=
.
Введенная ПРВ обладает следующими основными свойствами:
() ()
∫∫
∞−∞−
=≥
12
21212121
,,,0),(
xx
xxFdxdxxxwxxw
,
() ()() ()
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
==
12212121
,,,
xwdxxxwxwdxxxw
,
()
∫
∞
∞−
=
1,
2121
dxdxxxw
.
В качестве примера рассмотрим случайный вектор
()
21
,
XX
,
распределенный равномерно внутри эллипса с ПРВ:
()
22 22
12
12
22 22
12
11
01
ab, åñëè x a x b ,
wx,x
, åñëè x a x b
π
+≤
=
+>
.
Требуется найти ПРВ
()
1
xw
и
()
2
xw
. Заметим, что
ax
≤
1
и при фиксированном значении
ax
≤
1
имеем
2
2
12
2
2
1
/1/1
axbxaxb
−≤≤−−
.
Таким образом
()
axax
a
dx
ab
dxxxwxw
axb
axb
≤−===
∫∫
−
−−
∞
∞−
1
2
2
1
./1
./1
22211
,/1
21
),(
2
2
1
2
2
1
ππ
.
Аналогично можно найти и
()
bxbx
b
xw
≤−=
2
2
2
22
,/1
2
π
. Заметим,
что ПРВ компонентов не являются равномерными, несмотря
на равномерное распределение системы СВ. Вместе с тем, если
рассмотреть равномерное распределение системы не на эллипсе,
а на прямоугольнике, то компоненты оказались бы распределены
равномерно. Причины этих свойств СВ оказываются довольно глубокими
и связаны с зависимостью или независимостью СВ.
Для того, чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими
двумерной СВ вводится понятие условного распределения. Рассмотрим
два события
11
:
xXA
<
и
xxXxB
∆+<<
222
:
. Запишем выражение
для условной вероятности
()()()
BPABPBAP
=
в виде
()
()
()
xxXxP
xxXxxXP
xxXxxXP
∆+<<
∆+<<<
=∆+<<<
222
22211
22211
,
.(1.21)
Условная вероятность (1.21) может рассматриваться как функция
распределения СВ
1
X
, построенная при условии, что СВ
2
X
принимает
значения на интервале
()
xxx
∆+
22
,
. Переходя в (1.21) к пределу
при 0
→
x
, введем условную функцию распределения

Страницы