Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11
()
(
)
xxXxxXPxxF
x
∆+<<<=
→∆
22211
0
21
/
lim
.(1.22)
Эту функцию удается выразить через ПРВ системы СВ, если подставить
(1.21) в (1.22) и вычислить с помощью (1.20):
()
)(
),(
)(
),(
lim
2
121
22
2121
0
21
1
1
2
12
2
xw
dxxxw
dxxw
dxdxxxw
xxF
x
xx
x
xxx
x
x
∫
∫
∫∫
∞−
∆+
∞−
∆+
→∆
==
.(1.23)
Условная ПРВ определяется как частная производная от условной
функции распределения:
()
()()
()
2
21
1
21
21
,
xw
xxw
x
xxF
xxw
=
∂
∂
=
.
Заметим, что отсюда следует соотношение
()()
()
()
2
12
121
xw
xxw
xwxxw
=
,(1.24)
которое можно назвать формулой Байеса для непрерывных СВ.
Если условный закон распределения
()
21
xxF
не зависит от того, какое
значение принимает СВ
2
X
, т.е. при
()()
121
xFxxF
=
СВ
1
X
и
2
X
называют независимыми. Можно показать, что для того, чтобы СB
1
X
и
2
X
были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция
распределения (или ПРВ) системы
()
21
,
XX
была равна произведению
функций распределения (или ПРВ) составляющих:
()()()()()()
12 1 2 12 1 2
Fx,x Fx Fx , wx,x wx wx
==
.(1.25)
Для системы двух случайных величин
()
21
,
XX
, помимо числовых
характеристик
{} {} ( )
{}
()
{}
22
22
112 211 1122 22
xx xx xxx x
mMX,mMX,D MXm ,D MXm
σσ
====−==−
каждой из составляющих, вводится числовая характеристика
их взаимозависимости – смешанный второй центральный момент, или
ковариация:
()( )
{}
()( )()
12 112 2 112 2 1212
xx x x x x
B M X m X m x m x m w x ,x dx dx
∞∞
−∞ −∞
=− −=−−
∫∫
.(1.26)
Если CB
1
X
и
2
X
независимы, то
()()()
2121
,
xwxwxxw
=
и
0
21
=
xx
B
. В другом крайнем случае, когда
baXX
+=
12
, ковариация
2121121
xxxxxxx
DDaDB
σσ
===
.
Используя неравенство Коши-Буняковского
{}
{}{
}
2
2
2
1
2
21
XMXMXXM
≤
, можно показать, что
2121
xxxx
B
σσ
≤
.
Поскольку ковариация имеет размерность, равную произведению
размерностей СВ
1
X
и
2
X
, то для характеристики зависимости между СВ
удобно использовать безразмерный коэффициент корреляции:

Страницы