Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
сформулирована следующим образом. По известной ПРВ
()
xw
x
системы
СB
X
и виду функционального преобразования
()
xfy
=
найти ПРВ
()
yw
y
системы CB
Y
.
Поставленная задача решается относительно просто, если
преобразование
()
xfy
=
взаимно однозначно и дифференцируемо. В этом
случае одной точке
x
соответствует одна точка
()
xfy
=
и
наоборот:
()
yx
ϕ
=
. Кроме того, существует якобиан преобразования
()
det
Idxdy
=
. Заметим, что векторная запись
()
yx
ϕ
=
означает
задание
n
скалярных функций от
n
аргументов каждая:
()
1112
,,..., ,
n
xyyy
ϕ
=
()()
2212 12
, , ..., , . . . , , , ...,
nnn n
xyyy xyyy
ϕϕ
==
.
При этом якобиан преобразования вычисляется как определитель матрицы
производных:
111 2 1
2122 2
12
//.../
//.../
.......................
//.../
n
n
nn nn
xyxy xy
dx
xyxy xy
dy
xy xy xy


∂∂∂∂ ∂∂


∂∂∂∂ ∂∂

=



∂∂ ∂∂ ∂∂



.
Предположим теперь, что в пространстве CB
X
задана некоторая
n
–
мерная область
x
G
. Ее отображение в пространстве CB
Y
обозначим через
y
G
. Очевидно, два события
x
GX
∈
и
y
GY
∈
эквивалентны, поскольку все
точки
y
G
являются взаимно однозначным отображением точек области
x
G
. Тогда равны и вероятности этих событий, то есть
()()
yx
GYPGXP
∈=∈
. Но это означает равенство
() ()
12 12
... ... ... ...
xy
xny n
GG
w x dx dx dx w y dy dy dy
=
∫∫ ∫∫
.
Устремим к нулю объем
x
Gmes
области
x
G
и на основании теоремы
о среднем значении интеграла [26] получим:
() ()()
y
x
Gmes
xy
Gmes
Gmes
yxwyw
x
0
lim
→
==
ϕ
.
() ()()
Iyxwyw
xy
ϕ
==
.(1.36)
Поскольку предел отношения объемов областей
x
G
и
y
G
равен модулю
якобиана преобразования
I
, то:

Страницы