Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

16
формуле (1.37). Например, ПРВ произведения
21
XXY
=
СВ запишется в
виде
() ( )
∫
∞
∞−
==
1
11
21
1
dx
xx
y
xwxwyw
xxy
или
() ()
∫
∞
∞−
==
2
2
2
2
1
1
dx
x
xw
x
y
xwyw
xxy
.
Действительно, переход от системы СВ
()
21
,
XX
к системе СВ
()
1
,
XY
описывается следующими соотношениями:
1121
,
xxxxy
==
и
1211
,
xyxxx
==
. Якобиан преобразования
1
2
11
122
111
1
//1
10
det
//
//
det
x
xyx
xxyx
xxyx
I
−=
−
=
∂∂∂∂
∂∂∂∂
=
.
Несмотря на внешнюю простоту приведенных формул, их практическое
применение требует определенного внимания и аккуратности при
вычислениях. Найдем, например, ПРВ произведения двух независимых
СВ, равномерно распределенных на отрезках
[]
5,0;5,0
−
, т.е.
1
()1,
x
wx
=
[]
()
12
0,5; 0,5 , 1,
x
xwx
∈− =
[]
2
0,5; 0,5
x
∈−
. Для этого перейдем к системе
СВ
1121
,
XXXXY
==
. Совместная ПРВ этой системы запишется в виде
() () () ()
GyxyxwGyxxyxw
yy
∉=∈=
,,0,,,,1,
11111
. Область
G
(рис.1.1),
в которой
0),(
1
≠
yxw
y
, является отображением
12 1 1
,
yxx x x
==
,
квадрата
1
0,5 0,5 ,
x
−≤≤
2
0,5 0,5
x
−≤≤
.
Для нахождения ПРВ произведения
21
XXY
=
теперь уже
нетрудно проинтегрировать ),(
1
yxw
y
по переменной
1
x
. Если
()
25,0;0
∈
y
то
ydx
x
dx
x
dxyxwyw
y
y
yy
4ln2
11
),()(
1
5.0
2
1
1
2
5.0
1
11
−=+==
∫∫∫
−
−
∞
∞−
.
Если же
[]
25,0;0
∈
y
, то
() ( )
yyw
y
4ln2
−−=
. Таким образом, ПРВ
произведения двух независимых СВ с равномерными распределениями
запишется в виде
()
25,0,4ln2
<−=
yyyw
y
.
При нахождении закона распределения суммы
21
XXY
+=
СВ можно
вначале перейти к системе
()
2
,
XY
. Обратное преобразование
2221
,
xxxyx
=−=
однозначно, причем якобиан этого преобразования
1
10
11
det
//
//
det
222
211
=
−
=
∂∂∂∂
∂∂∂∂
=
xxyx
xxyx
I
.

Страницы