Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

18
{}
0
)(
1
=
==
υ
υ
υ
k
x
k
k
k
k
d
gd
i
XMm
.(1.40)
Найдем с помощью характеристических функций закон распределения
суммы
n
независимых нормальных СВ с
{}
niDmXM
iXiii
,...,2,1,,
2
===
σ
.
Вначале по формуле (1.39) определим характеристическую функцию
()
()
22
5,0exp
υσυυ
iiXi
img
−=
нормальной СВ с ПРВ
()
()
()
()
2
2
2exp21
iiiii
mxxw
σσπ
−−=
. После этого найдем характеристи-
ческую функцию
−
==
∑∑∏
===
2
1
2
11
2
1
exp)()(
υσυυυ
n
i
i
n
i
i
n
i
Xiy
migg
суммы
∑
=
=
n
i
i
XY
1
. Для нахождения ПРВ )(
yw
достаточно вычислить интеграл
обратного преобразования Фypьe. Но сравнивая )(
υ
y
g
с
)(
υ
xi
g
,
убеждаемся, что
)(
υ
y
g
– характеристическая функция нормальной СВ
с математическим ожиданием
∑
=
=
n
i
iy
mm
1
и дисперсией
∑
=
=
n
i
iy
D
1
2
σ
. Таким
образом, сумма нормальных СВ также является нормальной СВ. Заметим,
что установленное свойство выделяет нормальные СВ среди остальных.
Более того, используя рассмотренный аппарат характеристических
функций, можно доказать, что сумма негауссовских, одинаково
распределенных независимых СВ сходится по мере роста числа слагаемых
к нормальной СВ. Этот результат существенным образом развивается
в известных доказательствах центральной предельной теopемы теории
веpоятностей [2, 3], устанавливающей сходимость сумм СВ к нормальной
СB.
1.5. Марковские последовательности
Во многих радиотехнических приложениях случайные величины
()
n
XXX
,...,,
21
связаны со значениями непрерывного процесса
()
tX
в моменты времени
n
ttt
,...,,
21
, то есть
() () ()
nn
tXXtXXtXX
===
,...,,
2211
.
В этом случае упорядоченная система непрерывных СВ
n
XXX
,...,,
21
(рис. 1.2) называется случайной последовательностью (CП).
Простейшее вероятностное описание СП соответствует независимым
СВ
n
XXX
,...,,
21
, тогда совместная ПРВ
()()
∏
=
=
n
i
in
xwxxxw
1
21
,...,,. Однако
последовательность независимых СB представляет собой математическую
модель довольно узкого класса реальных процессов. Действительно,
с помощью СП с независимыми значениями невозможно дать описание
«гладких», коррелированных помех или медленно изменяющихся
параметров полезных сигналов, например, координат радиолокационных
целей. Поэтому во многих задачах необходимо использовать модели СП

Страницы