Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

20
математическое ожидание, получим
{}
2
1
xii
xxM
ρσ
=
−
или
{}
2
1
xii
xxM
σρ
−
=
.
Повторяя аналогичные операции после подстановки в уравнение (1.42)
12123
,
iiii i
xx xx
ρξ ρ
−−−− −
=+ =+
2
...,
i
ξ
−
можно записать следующую
формулу для корреляционной функции СП
() { }
2
kk
xiikx
Rk Mx x e
α
σρ
−
−
===
,
где
()
222
1;ln
ρσσρα
ξ
−=−=
x
.
Таким образом, СП (1.41) имеет экспоненциальную корреляционную
функцию. В то же время СП (1.42) является марковской, поскольку любые
вероятностные характеристики значения
i
x
полностью определяются
только предшествующим значением СП
1
−
i
x
. При заданном
1
−
i
x
формула
(1.42) позволяет найти все характеристики
i
x
без учета предыстории, т.е.
значений
12 2
, , ... ,
i
xx x
−
СП. Так, условная ПРВ
() ()
−−=
−−
2
1
2
1
2
1
exp
2
1
iiii
xxxxw
ρ
σ
σπ
ξ
ξ
(1.43)
может быть получена из ПРВ
()
()
()
22
2exp21
ξξ
σξσπξ
ii
w
−=
с учетом
связи
1
−
−=
iii
xx
ρ
ξ
и правил нахождения ПРВ функций СВ (п. 1.4).
Заметим, что легко записать выражение и для совместного распределения
произвольного числа
n
членов рассмотренной марковской СП:
()()()
()
()
−−
=
==
∑
∏
=
−
−
=
−
n
i
ii
n
n
i
iin
xxxw
xxwxwxxxw
2
2
1
2
1
1
2
1121
2
1
exp
2
1
...,,,
ρ
σ
σπ
ξ
ξ
(1.44)
Поскольку вид всех ПРВ перехода (1.43) не зависит от номера члена СП,
то уравнение (1.42) представляет однородную марковскую СП.
Для стационарности необходимо выбрать СВ
1
x
таким образом, чтобы все
безусловные ПРВ
()
nixw
i
...,,2,1,
=
были одинаковыми. Проведенный
анализ (1.42) показывает, что в стационарном случае все члены
{
}
i
x
последовательности имеют нулевое среднее и дисперсию
()
222
1
ρσσ
ξ
−=
x
. Кроме того, CП
{
}
i
x
гауссовская, так как получена
в результате линейного преобразования (1.42) гауссовских СВ
{}
i
ξ
. Таким
образом, ПРВ всех значений стационарной последовательности (1.42)
будут иметь следующий вид:
()
()
()
nixxw
xixi
....,,2,1,2exp21
22
=−=
σσπ
. При этом начальное
значение
1
x
формируется как нормальная СВ с нулевым средним
и дисперсией
2
x
σ
, а последующие члены последовательности образуются
в соответствии с рекуррентным соотношением (1.42).

Страницы