Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

21
Уравнение (1.42), которое часто называется уравнением авторегрессии
или стохастическим разностным уравнением, представляет весьма узкий
класс гауссовских марковских СП с экспоненциальной корреляционной
функцией. Вместе с тем имеются различные возможности для
существенного расширения этого класса [6-8]. Одной из них является
описание СП с помощью авторегрессионных уравнений более высокого
порядка:
nixxxx
imimiii
,...,3,2,...
2211
=++++=
−−−
ξ
ρ
ρ
ρ
,(1.45)
где
−
m
порядок авторегрессии. С помощью подбора коэффициентов
m
ρ
ρ
ρ
,...,,
21
можно получить гауссовские СП
nix
i
,...,2,1,
=
,
с разнообразными корреляционными свойствами [6]. Действительно,
умножая (1.44) на
ki
x
−
и находя математические ожидания, получим после
деления на
{}
nixM
ix
,...,2,1,
22
==
σ
, следующее соотношение для
значений корреляционной функции (КФ):
() ( ) ( ) ( )
12
1 2 ... , 0
xx x mx
Rk Rk Rk Rk m k
ρρ ρ
=−+−++ −>
(1.46)
Общее решение этого разностного уравнения в стационарном случае
представляется суммой экспонент [23]:
()
12
12
...
m
kk k
xm
Rk Ae Ae A e
αα α
−− −
=+++
,
где
ln ; , 1, 2, ... , ,
m
ννν
α
γγ
ν
==−
корни характеристического
уравнения
2
12
1...0
m
m
ργ ργ ρ γ
−− −− =
. Требование стационарности СП
(1.45) выполняется, если
0
>
ν
α
, т.е. когда все корни
,1,2,...,,
n
ν
γ
ν
=
характеристического уравнения лежат вне
единичного круга на комплексной плоскости.
Подставляя в (1.46) значения
mk
,...,2,1
=
получим известную систему
уравнений Юла-Уокера [6-8]:
() ()
() ( ) ( )
() () ()
mRmRmR
RmRR
RR
xmx
xxmx
xx
=++−+−
−=−−−−−
=−+++
=+++
ρρρ
ρρρ
ρρ
...21
,22...1
,1...1
21
21
21
.
Решение этой системы позволяет найти коэффициенты
m
ρ
ρ
ρ
,...,,
21
уравнения авторегрессии (1.45) по заданным или оцененным на основе
эксперимента значениям
() ( ) ( )
mRRR
xxx
,...,2,1
корреляционной функции
СП.
В качестве примера рассмотрим процесс авторегрессии второго
порядка:
nixxx
iiii
,...,3,2,
2211
=++=
−−
ξ
ρ
ρ
. Для стационарности процесса
необходимо, чтобы корни характеристического уравнения

Страницы