Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
В качестве первого примера найдем ПРВ случайной величины
Y
,
каждое значение которой получено экспоненциальным преобразованием
()
0,exp
>=
αα
xy
, значения
x
нормальной СВ
X
с ПРВ
()
()
()
()
2
2
2exp21
σσπ
axxw
x
−−=
. Поскольку однозначна функция
()
yx
ln1
α
=
, обратная по отношению к
()
xy
α
exp
=
, то можно
воспользоваться формулой (1.36), записанной в виде
() ()()
dy
dx
yxwyw
xy
ϕ
==
.
После дифференцирования /1/,0,0
dx dy y y
αα
=>>
и подстановки ПPB
()
()
ln /
x
wx y
α
=
получим следующий результат:
()
0,ln
1
2
1
exp
2
1
2
2
>
−−=
yay
y
yw
y
ασ
σαπ
.
Таким образом, экспоненциальное преобразование нормальной СB
приводит к логарифмически-нормальному распределению.
Многие задачи анализа алгоритмов обработки сигналов связаны
с нахождением ПРВ скалярной функции
()
n
XXXfY
,...,,
21
=
нескольких
случайных аргументов, например,
∑
=
=
n
i
i
XY
1
или
∏
=
=
n
i
i
XY
1
. Для решения
подобных задач на основе формулы (1.36) необходимо обеспечить
взаимную однозначность преобразования
YX
↔
. С этой целью вначале
выбирается вспомогательная система СВ, например,
T
n
XXXYY
)...(
32
=
,
удовлетворяющая требованию однозначности обратного преобразования
)(
YX
ϕ
=
. Затем по формуле (1.36) вычисляется ПРВ
()
ny
xxxyw
,...,,,
32
этой системы. Окончательный результат находится с помощью
интегрирования
() ( )
23 2 3
¥¥
-¥ -¥
=
òò
yynn
w y ... w y,x ,x ,...,x dx dx ...dx
.(1.37)
Заметим, что с помощью рассмотренного подхода можно доказать
основную теорему о математическом ожидании [3,11] скалярной функции
()
n
XXXfY
,...,,
21
=
произвольного числа СВ:
(){}()
()
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=
nnn
dxdxdxxwxxxfXXXfM
...,...,,...,...,,
212121
.
Отсюда следует, в частности, что
{
}
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
XMXM
11
.
Во многих случаях требуется найти законы распределения
произведения
21
XXY
=
, частного
21
XXY
=
или суммы
21
XXY
+=
независимых СВ. Для решения этих задач необходимо перейти от системы
СВ
()
21
,
XX
к системе
()
1
,
XY
или
()
2
,
XY
и выполнить интегрирование по

Страницы