Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

29
–средние по множеству возможных значений параметра
θ
потери при
заданных наблюдениях
y
. Анализ приведенных выражений показывает,
что минимум средних потерь
R
будет достигнут, если минимизировать
условные потери
()
yR
a
в каждой точке
y
пространства наблюдений.
Действительно, минимизация
R
осуществляется с помощью выбора
оценки параметра
()
y
∧
θ
, зависящей только от
y
. Именно поэтому имеется
возможность подобрать для каждой точки
y
наилучшую оценку
()
y
∧
θ
,
минимизирующую (2.4), а значит и средние потери.
Для поиска оптимальной оценки при квадратичной функции потерь
подставим (2.2) в (2.4), продифференцируем
() () ()
∫
∞
∞−
∧
−=
θθθθ
dywyyR
a
2
по
∧
θ
и приравняем производную нулю. Из условия экстремума
()
yR
a
находим
() ()
∫
∞
∞−
∧
=
θθθθ
dywy
. (2.5)
Следовательно, наилучшей оценкой параметра
θ
при квадратичной
функции потерь является математическое ожидание, вычисленное для
апостериорного распределения
()
yw
θ
параметра
θ
. Геометрически
формула (2.5) определяет координату центра тяжести апостериорной ПРВ.
Определим теперь правило нахождения оценок при простой функции
потерь. Для этого подставим выражение (2.3) в формулу (2.4). Используя
фильтрующее свойство дельта-функции
()( ) ( )
00
xfdxxxxf
=−
∫
∞
∞−
δ
,
получим следующую величину условных потерь:
() ()
ywyR
a
θ
−=
. Потери
будут минимальны, если при обработке экспериментальных данных
()
T
n
yyyy
...
21
=
вычислить апостериорное распределение
()
yw
θ
и
выбрать оптимальную оценку в точке максимума ПРВ
()
yw
θ
.
При симметричной унимодальной ПРВ
()
yw
θ
, например, гауссовской,
координата центра тяжести совпадает с координатой точки максимума
()
yw
θ
и, следовательно, в этом случае совпадают и оптимальные оценки
для простой и квадратичной функции потерь. Вместе с тем в большинстве
практических задач нахождение точки максимума ПРВ
()
yw
θ
осуществляется значительно проще, чем определение координаты центра
тяжести. Поэтому байесовские оценки при простой функции потерь, т.е.
оценки по максимуму апостериорного распределения, широко
используются в разнообразных приложениях.

Страницы