Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

30
Вычисление точки максимума апостериорной ПРВ обычно
выполняется следующим образом. Используя формулу (1.34)
применительно к рассматриваемой ПРВ, запишем следующее выражение:
()
()
()
()
θθθ
yww
yw
yw
1
=
. (2.6)
Как следует из этой формулы, при определении максимума
()
yw
θ
по
переменной
θ
можно не учитывать число
()
yw
1
. Заметим также, что
выражение
()
θ
yw
здесь уже не является ПРВ, поскольку вместо
переменных
()
12
T
n
y yy...y
=
в ПРВ уже подставлены известные
результаты эксперимента. Таким образом, функция
()
θ
yw
является
функцией одной переменной – параметра
θ
и играет основную роль
при формировании апостериорной ПРВ. Поэтому введем для функции
()
θ
yw
, называемой функцией правдоподобия, специальное обозначение:
()
()
θθ
ywL
=
.
Если априорная ПРВ
()
θ
w
постоянна на интервале возможных
значений оцениваемого параметра, то апостериорная ПРВ (2.6) с
точностью до постоянного множителя
()
()
yww
θ
совпадает с функцией
правдоподобия. Оценка по максимуму апостериорной ПРВ переходит при
этом в оценку максимального правдоподобия, т.е. в оценку,
максимизирующую функцию правдоподобия
()
θ
L
.
Все приведенные рассуждения остаются справедливыми для важного
случая оценки нескольких параметров
m
θθθ
...,,,
21
, которые удобно
объединить в один вектор
()
12
T
m
...
θθθ θ
=
. При этом оптимальные
байесовские оценки
()
y
∧
θ
минимизируют условные средние потери
() () ()
∫
∞
∞−
∧
=
ma
dddywyRyR
θθθθθθ
...,
21
и, следовательно, основаны на
вычислении апостериорного распределения
()
yw
θ
. Квадратичная
функция потерь приводит к оптимальным оценкам в виде математического
ожидания апостериорной ПРВ. Простой функции потерь соответствуют
оценки, максимизирующие
()
()
() ()
1
wy w L
wy
θθθ
=
,
где
() ()
θθ
ywL
=
– функция правдоподобия.
Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий взаимосвязь между
оценками по максимуму апостериорной ПРВ и максимуму правдоподобия.
Предположим, что производятся наблюдения
k
yyy
,...,,
21
полезного

Страницы