Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

31
параметра
θ
на фоне белого гауссовского шума
{
}
i
n
нулевым средним и
дисперсией
2
σ
, т.е.
kiny
ii
...,,2,1,
=+=
θ
. (2.7)
Априорное распределение
θ
будем также полагать нормальным
()
()
−
−=
2
0
2
0
0
2
exp
2
1
σ
θθ
σπ
θ
w
(2.8)
со средним значением
0
θ
и дисперсией
2
0
σ
. Требуется на основе априорной
информации (2.8) и результатов
k
yyy
,...,,
21
эксперимента дать
оптимальную, в смысле максимума апостериорной ПРВ, оценку параметра
θ
.
Для решения поставленной задачи вначале найдем функцию
правдоподобия. Распределение
()
θ
yw
при независимых значениях шума
kn
i
,...,2,1
=
находится как произведение
()
()
∏
=
=
k
i
i
ywyw
1
θθ
, причем с
использованием правил функциональных преобразований получим:
()( )
()
()
()
2
2
2exp21
σθσπθθ
−−=−==
iiii
yynwyw
. Таким образом,
совместная ПРВ запишется в виде:
2
22
1
11
22
k
i
k/ k
i
w( y / ) exp ( y )
()
θθ
πσ σ
=

=−−



∑
. (2.9)
После подстановки в это выражение измеренных значений
k
yyy
,...,,
21
оно
будет определять функцию правдоподобия
()
()
θθ
ywL
=
.
Для нахождения максимума
()
θ
L
удобно прологарифмировать (2.9),
поскольку максимум любой монотонной функции от
()
θ
L
находится в той
же точке, что и максимум
()
θ
L
. Находя
()
θ
L
ln
и дифференцируя, получим
из условия экстремума оценку максимального правдоподобия в виде
среднего арифметического сделанных наблюдений:
1
1
k
МП
i
i
y
k
θ
∧
=
=
∑
.(2.10)
Заметим, что дисперсия ошибки оценивания по максимуму
правдоподобия определяется формулой:
k
n
k
My
k
MM
k
i
i
k
i
i
МП
2
2
1
2
1
2
2
11
σ
θθθσ
ε
=
=
−=
−=
∑∑
==
∧
.
Для того, чтобы найти оптимальную оценку
ÌÀÂ
θ
∧
по максимуму
апостериорной плотности распределения перепишем (2.6) с учетом (2.7) и
(2.9) в виде:
()
()
()
()
() ()
22
0
22
12
1
0
0
11 1 1
22
2
k
i
k
k
i
wy exp y
wy
θθθθ
σσ
πσσ
+
=

=−−−−


∑
.

Страницы