Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

33
Отметим следующие два свойства алгоритмов вида (2.13). Допустим,
что исходная задача оценивания усложнена тем, что СВ
kin
i
,...,2,1,
=
,
имеют различные дисперсии:
{}
kinM
ii
...,,2,1,
22
==
σ
. Повторяя
приведенные выкладки для этого случая, убеждаемся, что процедура
оценивания параметра
θ
после замены
2
σ
на
2
k
σ
сохраняет форму (2.13).
Другим важным свойством, позволяющим контролировать качество
рекуррентного оценивания, является равенство коэффициента
()
22
0
2
0
1
k
k
σσσ
+
, который обозначим
k
P
, дисперсии ошибки оценивания:
−=
∧
2
θθ
k
k
MP
.
К сожалению, получение оптимальных рекуррентных алгоритмов
оценивания и доказательство приведенных свойств на основе
преобразования выражений типа (2.12) связано со значительными
математическими трудностями. Эти трудности вызваны о тсутствием в
предлагаемых преобразованиях эффективной методики перехода к
рекуррентным соотношениям и будут многократно возрастать при любых
попытках расширить класс исходных моделей. В связи с этим рассмотрим
другие подходы к построению рекуррентных оценок.
Будем искать оценку
k
∧
θ
параметра
θ
на
()
1
−
k
-м шаге оценивания в
виде линейной комбинации
kk
k
k
k
yBA
+=
−
∧∧
1
θθ
(2.14)
оценки
∧
−
1
k
θ
, полученной по наблюдениям
121
,...,,
−
k
yyy
, и очередного
наблюдения
k
y
. Обозначая ошибку оценивания
θθε
−=
∧
k
k
и учитывая
модель наблюдений
kk
ny
+=
θ
, преобразуем (2.14) к следующему виду:
()
1
1
kkk kkkk
AB A Bn
εθε
−
=+− + +
.(2.15)
Нашей задачей является подбор коэффициентов
k
A
и
k
B
,
минимизирующих
{
}
2
k
M
ε
. Анализ (2.15) показывает, что следует положить
01
=−+
kk
BA
или
kk
BA
−=
1
. При этом дисперсия ошибки оценивания
{}
()
22
1
2
2
1
kkkkkk
BPBMP
σε
+−==
−
будет минимальна, если выбрать
()
2
11
kkkk
PPB
σ
+=
−−
. В этом случае
kkk
BP
2
σ
=
или
1
−
=
kkk
VPB
, где
{
}
22
kkk
nMV
==
σ
. После подстановки оптимальных коэффициентов
k
B
и
kk
BA
−=
1
в (2.14) получаем следующую процедуру рекуррентного
оценивания:
−+=
−
∧
−
−
∧∧
1
1
1
k
kkk
kk
yVP
θθθ
,(2.16)
где
()
1
1
1
1
−
−
−
+=
kkkk
PVPP
дисперсия ошибки оценивания параметра
θ
после
k
наблюдений.

Страницы