Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

35
Для несмещенной оценки средний квадрат ошибки равен дисперсии.
Поэтому эффективная несмещенная оценка определяется из условия
минимума дисперсии ошибки
()
−=
∧
2
θθ
ε
yMD
.
Существует неравенство [15], с помощью которого можно определить
нижнюю границу дисперсии несмещенных оценок. Это позволяет на
основе сравнения действительного значения дисперсии ошибки с
минимальным дать характеристику качества той или иной оценки.
Предположим, что границы области значений
y
, где ПРВ
()
θ
yw
отлична от нуля, не зависят от
θ
. Пусть
()
()
n
yyyy
,...,,
21
∧∧
=
θθ
–
несмещенная оценка параметра
θ
, т.е.
()
{}
() ()
My ... ywy dy
θθθθ
∞∞
∧∧
−∞ −∞
==
∫∫
,
где
n
dydydyyd
...
21
=
.
Продифференцируем обе части этого равенства по
θ
, используя
предположение о независимости пределов интегрирования от
θ
.
В результате получим:
()
(
)
1...
=
∂
∂
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∧
yd
yw
y
θ
θ
θ
или
()
()
()
1
ln w y
... y w y d y
θ
θθ
θ
∞∞
∧
−∞ −∞
∂
=
∂
∫∫
.
Последнее выражение с учетом основной теоремы о математическом
ожидании можно компактно переписать следующим образом:
() ()
1ln
=
∂
∂
∧
θ
θ
θ
ywyM
.(2.17)
Кроме того, из очевидного условия
()
1...
=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ydyw
θ
дифференцированием по
θ
находим
(){}
0ln
=∂∂
θθ
ywM
. Умножая
правую и левую части этого равенства на
θ
и вычитая из (2.17), получим
() ()
1ln
=
∂
∂
−
∧
θ
θ
θθ
ywyM
.(2.18)
Левая часть (2.18) представляет ковариацию
{}
12 1 2
xx
BMXX
=
двух СВ
()
θθ
−=
∧
yX
1
и
()
θθ
∂∂=
ywX
ln
2
, имеющих нулевые средние. Как
известно,
{}{}
2
2
2
121
XMXMB
xx
≤
или
{}{
}
2
2
2
1
2
21
XMXMB
xx
≤
. После

Страницы