Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

37
−
∧
2
θθ
Э
M
эффективной оценки, совпадает с нижней границей
()
1
I
θ
−
.
Во многих случаях
()
θθθ
1
2
−
∧
>
−
IM
Э
.
Рассмотрим два примера нахождения нижних границ дисперсии
ошибки при оценивании параметров нормального и экспоненциального
распределений. Предположим, что производятся независимые наблюдения
n
yyy
,...,,
21
с ПРВ
()
()
()
()
2
2
2exp21
σθσπθ
−−=
ii
yyw
,
содержащей неизвестный параметр
θ
– математическое ожидание СВ
i
y
.
Запишем выражение для
()
θ
i
y
ln
, найдем производную
() ()
2
ln
σθθθ
−=∂∂
ii
yyw
и количество информации
() ( )
{
}
24
2
1
1
σσθθ
=−=
i
yMI
в одном наблюдении. Поскольку
() ()
2
1
σθθ
nInI
==
, то для дисперсии любой оценки
()
y
∧
θ
параметра
θ
справедливо неравенство
nD
2
σ
ε
≥
. В рассмотренной задаче для оценки
математического ожидания можно предложить среднее арифметическое
наблюдений
()
∑
=
∧
=
n
i
i
y
n
y
1
1
θ
. Дисперсия этой оценки
() ()
{}
∑∑
==
∧
=−=
−=
−
n
i
i
n
i
i
n
yM
n
y
n
MM
1
2
2
2
2
1
2
11
σ
θθθθ
совпадает с нижней границей. Следовательно, предложенная оценка
является эффективной.
Другим примером может быть оценка параметра
λ
экспоненциального
распределения
() ( )
niyyw
ii
,...,2,1,exp
=−=
λλλ
. Нижняя граница
дисперсии ошибки равна
n
2
λ
, так как
() ()
{
}
2
2
1
11
λλλ
=−=
i
yMI
. Вместе
с тем анализ всех возможных оценок
()
y
∧
λ
показывает, что нижней
границы
()()
nI
2
1
λθ
=
−
достичь не удается. Минимальную дисперсию
()
2,2
2
>−
nn
λ
, но большую чем
()
θ
1
−
I
, имеет эффективная
несмещенная оценка
()
∑
=
∧
−=
n
i
i
yn
1
1
λ
. Изменим условия этого примера
и поставим задачу оценки параметра
λθ
1
=
экспоненциального
распределения:
()() ()
niyyw
ii
,...,2,1,exp1
=−=
θθθ
. Тогда
() ( )
()
{}
2
2
1
i
IMy
θθθ
=− =
2
1
θ
=
, и существует эффективная оценка
∑
=
∧
=
n
i
i
Э
y
n
1
1
θ
, дисперсия которой
n
2
θ
совпадает с нижней границей
()()
1
1
−
θ
In
.

Страницы