Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

38
В каких же случаях эффективные оценки имеют дисперсию,
совпадающую с нижней границей
()
θ
1
−
I
? Для ответа на этот вопрос
обратимся к выводу соотношения (2.19). Точное равенство в (2.19)
достигается, когда СВ
()
θθ
−=
∧
yX
1
и
()
θθ
∂∂=
ywX
ln
2
при каждом
значении
θ
связаны линейной зависимостью
(
)
()
()
−=
∂
∂
∧
θθθ
θ
θ
ya
yw
ln
.(2.23)
Полученное выражение дает описание семейства ПРВ
()
θ
yw
и
соответствующих оценок
()
y
∧
θ
, обеспечивающих равенство в формулах
(2.19), (2.20), т.е. эффективное оценивание с дисперсией
()
θ
1
−
I
. После
интегрирования (2.23) по
θ
семейство таких ПРВ может быть
представлено в виде:
()
()
()
()
()
++=
∧
yCByAyw
θθθθ
exp , (2.24)
где
() ()
∫
=
θθθ
daA
и
() ()
∫
−=
θθθθ
daB
– дифференцируемые функции
θ
;
()
yC
– произвольная функция
y
. При этом
()
y
∧
θ
служит эффективной
оценкой параметра
() ()
θθθ
''
AB
−=
с дисперсией
() ()()
2
2
'11
θθ
ε
AaD
==
. Для конкретных ПРВ запись в форме (2.24)
обычно содержит функции
A
и
B
от собственных параметров
соответствующих распределений, например,
()
λ
A
и
()
λ
B
– для
экспоненциального или
()
σ
A
и
()
σ
B
– для нормального распределения.
В этом случае параметр
θ
может быть найден как функция
()
λθθ
=
с
помощью соотношения
() () () ()
λλθθθ
''''
ABAB
−=−=
. Например, для
() ( )
niyyw
ii
,...,2,1,exp
=−=
λλλ
, совместная ПРВ запишется в виде:
() ()
+−=
∧
λθλλ
lnexp
nynyw
, где
()
∑
=
∧
=
n
i
i
y
n
y
1
1
θ
;
()
λλ
An
=−
;
()
λλ
Bn
=
ln . После дифференцирования находим параметр
() ()
λλλθ
1''
=−=
AB
, для которого
()
y
∧
θ
является оптимальной оценкой.
Таким образом, эффективные оценки
()
y
∧
θ
с дисперсией, в точности
равной нижней границе
()
θ
1
−
I
могут быть получены только для ПРВ
()
θ
yw
, входящих в экспоненциальное семейство (2.24). К этому
семейству относятся часто встречающиеся в задачах обработки сигналов
нормальное, биномиальное, пуассоновское и гамма-распределение.
Для каждого из этих распределений существует определенная
условиями (2.24) форма записи и соответствующая оценка
()
y
∧
θ
параметра
(табл.2.1).

Страницы