Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

32
После дифференцирования по
θ
логарифма апостериорной ПРВ
()
yw
θ
найдем из условия экстремума следующее выражение для оптимальной
оценки:
МПМАВ
∧∧
+
+
+
=
θ
σσ
σ
θ
σσ
σ
θ
εε
ε
22
0
2
0
0
2
0
2
2
.(2.11)
Из полученной формулы следует, что в том случае, когда дисперсия
априорного распределения
2
0
σ
намного больше дисперсии
2
ε
σ
оценки
МП
∧
θ
, полученной только на основании эксперимента, то
МПМАВ
∧∧
≅
θθ
.
Напротив, если априорная оценка
0
θ
имеет малую дисперсию
22
0
ε
σσ
<<
,
то данные эксперимента не учитываются и
0
∧∧
≅
θθ
МАВ
. В остальных
ситуациях оценка (2.11) определяется как среднее взвешенное априорной
оценки
0
θ
параметра и оценки максимального правдоподобия с учетом их
дисперсий.
Представим теперь, что в рамках рассмотренного примера процесс
оценивания параметра
θ
осуществляется последовательно во времени и
после получения оценки (2.11) по 1
−
k
наблюдению, которую обозначим
1
−
∧
k
θ
, осуществляется еще одно измерение
k
y
. При этом требуется дать
оценку
k
∧
θ
параметра
θ
по
k
наблюдениям. Формально для этого можно
воспользоваться выражением (2.11) и записать
()()
22
kk
00
k
0i i
22 22
22 22
i1 i1
00
00
111
yy.(2.12)
kk
1k 1 k
e
ee
ss q
qq
ss ss
ss ss
Ù
==
=+ = +
++
++
åå
Однако вычисления
k
∧
θ
по этой формуле, естественно, наводят на мысль о
возможности использования предыдущей оценки
1
−
∧
k
θ
для уменьшения
числа арифметических операций. Действительно, после ряда несложных,
но довольно громоздких выкладок можно получить следующую простую
рекуррентную связь между оценками:
()
−
+
+=
−
∧
−
∧∧
1
222
0
2
0
1
1
1
k
k
kk
y
k
θ
σσσ
σ
θθ
(2.13)
Справедливость этого соотношения может быть доказана с помощью
подстановки в него формулы (2.11) для
1
−
∧∧
=
kМАВ
θθ
и учета (2.10).
Полученный результат (2.13) определяет оптимальный алгоритм
последовательного переоценивания параметра
θ
по максимуму
апостериорной ПРВ. На каждом шаге анализа (после каждого очередного
наблюдения) для получения оценки
k
∧
θ
используется лишь предыдущая
оценка
1
−
∧
k
θ
и измеренное значение
k
y
. Начальным условием является
равенство
0
0
θθ
=
∧
.

Страницы