Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

41
Анализ зависимости
()
θ
L
, представленной на рис.2.1, показывает, что
наибольшее значение функции правдоподобия находится в точке
i
ni
y
≤≤
=
1
max
θ
.
Следовательно,
()
i
ni
yy
≤≤
∧
=
1
max
θ
– оценка максимального правдоподобия
(ОМП). Заметим, что эта оценка не может быть получена с помощью
решения уравнения правдоподобия, так как в точке
()
y
∧
θ
функция
()
θ
L
имеет разрыв, и производная
()
θθ
ddL
не существует.
Определим математическое ожидание и дисперсию полученной оценки
()
i
ni
yy
≤≤
∧
=
1
max
θ
. Для наибольшего значения
i
ni
yX
≤≤
=
1
max
совокупности
n
случайных величин вначале найдем функцию распределения
() ( )
()
()()
∏
=
≤≤
<=<<<=<=<=
n
i
ini
ni
xyPxyxyxyPxyPxXPxF
1
21
1
,...,,max .
При равномерном законе распределения
()
θ
xxyP
i
=<
, если
θ
≤≤
x
0.
Поэтому
()
θθ
≤≤=
xxxF
nn
0,, а
()
()
nn
xn
dx
xFd
xw
θ
1
−
==
. Теперь уже
нетрудно вычислить математическое ожидание оценки
()
()
θθ
θ
1
0
+
==
∫
∧
n
n
dxxwxyM
. Как следует из этой формулы, ОМП
()
i
ni
yy
≤≤
∧
=
1
max
θ
оказывается смещенной, но смещение можно устранить, если
использовать оценку
()
i
ni
y
n
n
y
≤≤
∧
+
=
1
max
1
θ
. Точность скорректированной
оценки характеризуется дисперсией
()
()
()
2
1
2
2
0
2
2
2
+
=−
+
=
−=
∫
∧
nn
dxxwx
n
n
yMD
θ
θθθ
θ
ε
.(2.27)
Интересно, что дисперсия оценки параметра
θ
равномерного
распределения при увеличении числа
n
наблюдений убывает как
2
−
n
.
Это исключение из правила (2.20), (2.21), согласно которому, для всех
«гладких» ПРВ
()
θ
i
yw
при независимых наблюдениях
1
−
≈
nD
ε
.
Примером задачи оценивания векторного параметра
()
T
21
θθθ
=
может
служить нормальное распределение с ПРВ
() ()
niyyw
ii
,...,2,1,
2
1
exp
2
1
,
2
1
2
2
21
=
−−=
θ
θ
πθ
θθ
.
В этом случае ОМП находится из решения следующих уравнений
правдоподобия:
0)(
1
),(ln
1
1
21
21
=−=
∂
∂
∑
=
n
i
i
y
L
θ
θθ
θθ
,

Страницы