Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

42
0)(
2
1
2
),(ln
1
2
1
222
21
=−+−=
∂
∂
∑
=
n
i
i
y
n
L
θ
θθθ
θθ
.
В результате получаем совместные ОМП математического ожидания и
дисперсии:
∑∑
=
∧∧
=
∧
−==
n
i
i
n
i
i
y
n
y
n
1
2
12
1
1
1
,
1
θθθ
.(2.28)
Важным свойством ОМП является инвариантность относительно
взаимно однозначных преобразований
()
θ
h
параметра
θ
. Это означает,
что при известных ОМП
()
y
∧
θ
и функции
()
θ
h
может быть легко найдена
ОМП
()
()
=
∧∧
yhh
θθ
. Действительно, так как существует обратная
функция
()
h
θθ
=
, то
() ()()
hLL
h
θθ
θ
maxmax
=
.
Принцип инвариантности позволяет в каждой конкретной задаче
выбирать наиболее удобную параметризацию, а ОМП получать затем с
помощью соответствующих преобразований. Пусть в условиях
нормальной модели с двумя неизвестными параметрами требуется оценить
параметрическую функцию
()
−
Φ+=
2
10
021
5,0,
θ
θ
θθ
y
H
,
представляющую собой вероятность
()
0
yYP
≤
. В этом случае можно
положить, например,
()()()
22121
,,,
θθθθθ
Hh
=
и, согласно принципу
инвариантности, ОМП
()
=
∧∧∧∧
221
21
,,,
θθθθθ
Hh
. Учитывая (2.28),
находим
()
−
−
Φ+=
=
∑
∑
=
∧
=
∧∧∧
n
i
i
n
i
i
y
n
y
n
y
HH
1
2
1
1
0
0
21
21
)(
1
1
5,0,,
θ
θθθθ
.
Метод максимального правдоподобия не всегда приводит к
несмещенным оценкам. Так, при оценке (2.27) двух параметров
нормального распределения ОМП
2
∧
θ
имеет смещение
nM
22
2
θθθ
−=−
∧
, убывающее до нуля при
∞→
n
. Доказано [15], что
для широкого класса ПРВ
()
θ
yw
оценки максимального правдоподобия
асимптотически (при
∞→
n
) несмещенные и асимптотически нормальные
с дисперсией ошибки, совпадающей при
∞→
n
с нижней границей
()
θ
1
−
I
в неравенстве Рао-Крамера (2.20). Описанные свойства обусловили
широкое применение метода максимального правдоподобия в
разнообразных приложениях.

Страницы